Надежность функционирования автоматизированных систем. Липатов И.Н. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

-46-
()
()
()
()
c
t
i
i
i
m
i
i
m
i
t
e
a
i
e
a
i
e
t
t
λλ
λ
λ
λ
=−
−
−
∑
+
∑
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
−
−
=
=
−
−
0
0
1
1
1
1
1
1
11
0
0
!
!
;
1.24 Режим ненагруженного резерва
.
При
1
0
λ
= имеем режим ненагруженного резерва.
В этом случае
()
()
m
m
m
P
S
SS
+
+
+
=
+
1
0
1
1
0
λ
λ
;
Найдём оригинал
(
)
m
P
t
+1
. Имеем
() ()
(
)
c
m
t
i
i
m
q
t
P
t
e
t
i
==−
∑
+
−
=
1
0
0
1
0
λ
λ
!
;
Определим вероятность безотказной работы системы с ненагруженным резервом
. Имеем:
() ()
(
)
c
c
t
i
i
m
P
t
q
t
e
t
i
=− =
∑
−
=
1
0
0
0
λ
λ
!
;
Определим среднее время безотказной работы системы с ненагруженным резервом
.
()
(
)
tc c
t
i
i
m
i
i
m
it
mP
tdt
e
t
i
dt
i
te
dt=
∫
=
∫
∑
=
∑
∫
∞
−
∞
==
−
∞
0
0
0
0
0
0
0
0
0
λλ
λλ
!!
;
где
it
te
dt
0
0
∞
−
∫
λ
- эйлеров интеграл второго рода.
Известно, что
()
−
∞
−
−
∫
=
qx p
p
ex
dx
q
P
0
1
Γ .
Тогда
()
()
(
)
it
i
i
te
dt i
i
0
0
0
1
0
1
1
1
∞
−
−+
+
∫
=+=
+
λ
λ
λ
Γ
Γ
;
(
)
(
)
tc
i
i
m
i
i
m
m
i
ii
i
=
∑
+
=
+
∑
=
+
=
0
0
0
1
0
0
11 1
λ
λλ
!!
;
ΓΓ
Для гамма - функции справедливы соотношения
()
(
)
Γ
Γ
xxx+=1 ;
(
)
(
)
Γ
xx
=
−
1!.
Следовательно
()()
Γ
xxx+=
−
1 1 !;
(
)
Γ
xx
+
=
1 !
Тогда
(
)
tc
i
m
i
m
m
ii
i
m
=
−
∑
=
∑
=
+
==
111
1
1
0
0
0
1
0
λλλ
!
!
;
                                                                      -46-
                                           ⎡                  ai                  i −1⎤
                                                                       (1− e−λ0t) ⎥
                                                       m

                                           ⎢          ∑
                                                      i =1 (1 − i) !
                              λc ( t) = λ0 ⎢1 − e−λ0t          m a                    ⎥;
                                           ⎢             1 + ∑ (1− e 0 ) ⎥
                                                                     i      −     i
                                                                              λ t
                                           ⎢⎣                 i =1 i !                ⎥⎦



                                1.24 Режим ненагруженного резерва.

При λ1 = 0 имеем режим ненагруженного резерва.
    В этом случае
                                                    λ 0m+1
                                    P m+1 (S) =             m +1 ;
                                                S (S + λ 0)
Найдём оригинал P m+1 ( t ) . Имеем

                                     qc ( t) = Pm+1 ( t) = 1 − e             −λ0t
                                                                                    m      (λ0 t)i
                                                                                    ∑                ;
                                                                                    i =0        i!
Определим вероятность безотказной работы системы с ненагруженным резервом. Имеем:
                                                                                    m    (λ0 t)i
                                      P c ( t) = 1 − q c ( t) = e
                                                    ;                      −λ 0t
                                                                                   ∑
                                                 i!                                i=0

Определим среднее время безотказной работы системы с ненагруженным резервом.
                                 ∞               ∞                m   (λ0 t)i      λ0i ∞ i −λ 0t
                                                                                            m
                        mtc = ∫ Pc ( t)dt = ∫ e          − λ 0t
                                                                  ∑       dt = ∑ ∫ t e dt;
                                 0               0                i =0 i!      i =0 i! 0
                          ∞
где                       ∫ t i e − λ 0 t dt - эйлеров интеграл второго рода.
                          0




                                                     ∞
                                                     ∫ e−qx xp −1 dx = q Γ( P).
                                                                                           −p
             Известно, что
                                                     0
                                     ∞                                                          Γ(i + 1)
                                     ∫ t i e− λ 0t dt = λ0− i +1 Γ(i + 1) =
                                                                  (    )
         Тогда                                                                                           ;
                                      0                                                          λ 0i +1

                                       λi0 Γ( i + 1) 1 m Γ( i + 1)
                                               m
                                          mtc = ∑   = ∑               ;
                                   i =0 i!  λi0+1    λ0 i =0 i!
Для гамма - функции справедливы соотношения
                      Γ( x + 1) = xΓ ( x);          Γ( x) = ( x − 1) !.
Следовательно

                          Γ( x + 1) = x( x − 1) !;                            Γ( x + 1) = x!

                                            1 m i( i − 1) ! 1 m    m+1
        Тогда                     mtc =        ∑           = ∑1 =      ;
                                            λ0 i=0 i!       λ0 i=1  λ0

Страницы