Решение задач по курсу "Прикладная теория надежности". Липатов И.Н. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

Задача 5.1.
Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной
работы элемента m
t
= 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон
надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необ-
ходимо найти вероятность безотказной работы системы Р
с
(t), среднее время безотказной
работы системы m
tс
, а также частоту отказов f
c
(t) и интенсивность отказов λ
с
(t)
в момент времени t = 50 час в следующих случаях:
а) нерезервированной системы,
б) дублированной системы при включении резерва по способу замещения (ненагру-
женный резерв).
Решение
:
а)
λλ
ci
i
n
=
=
∑
1
,
где λ
с
– интенсивность отказов системы, λ
i
– интенсивность отказов i - го элемента; n = 10,
λλλ
i
ti
i
m
in== = = =
11
1000
0001 1.; ,; ,
λ
λ
c
n==
⋅
=
0 001 10 0 01. . 1/÷àñ ,
m
tc
c
==
1
100
λ
÷àñ ; p
c
(t)= e
c
t−λ
;
f
c
(t)=λ
c
(t)∗p
c
(t) ; λ
c
(50)=λ
c
;
f
c
(50)=λ
c
e
c
t−λ
=0.01∗e
-0.01∗50
≈6∗10
-3
1/÷àñ ;
λ
c
(50)=0.01 1/÷àñ .
á) m
tc
=
m
c
+ 1
λ
; m=1 ;
m
tc
=
2
001.
=200 ÷àñ .
Определяем Р
c
(t) по формуле
pt e
t
i
et
c
t
i
t
i
m
()
()
!
().==+
−−
=
∑
λλ
λ
λ
00
0
0
0
1
Так как λ
0
=λ
с
, то
P
c
(t)=e
-λñ
t
(1+λ
c
t) .
Определяем f
c
(t). Имеем
[]
ft
dp t
dt
etete
c
c
c
t
cc
t
c
t
ccc
()
()
() .=− =−− + + =
−−−
λλλλ
λλλ
1
2
Определяем λ
c
(t) . Получим 
    Задача 5.1. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной
работы элемента mt = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон
надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необ-
ходимо найти вероятность безотказной работы системы Рс(t), среднее время безотказной
работы системы mtс, а также частоту отказов fc(t) и интенсивность отказов λс (t)
 в момент времени t = 50 час в следующих случаях:
    а) нерезервированной системы,
    б) дублированной системы при включении резерва по способу замещения (ненагру-
женный резерв).
    Решение:


                                                                      n
а)                                                        λc =      ∑λ
                                                                    i=1
                                                                              i   ,


где λс – интенсивность отказов системы, λi – интенсивность отказов i - го элемента; n = 10,
                            1             1
                 λ i =               =            = 0 . 0 0 1 ; i = 1 , n ;λ = λ i ,
                           m ti         1000
                 λ c = λn = 0.001 ⋅ 10 = 0.01 1/÷àñ ,
                          1
                  m tc =     = 100 ÷àñ ; pc(t)= e −λ c t ;
                         λc
                 fc(t)=λc(t)∗pc(t) ; λc(50)=λc ;
                 fc(50)=λc e −λ c t =0.01∗e-0.01∗50≈6∗10-3 1/÷àñ ;
                 λc(50)=0.01 1/÷àñ .
                       m+1
á)               mtc=         ; m=1 ;
                         λc
                         2
                 mtc=       =200 ÷àñ .
                       0.01

Определяем Рc(t) по формуле
                                               m
                                                  (λ 0 t) i
                        p c (t) = e   − λ0t
                                              ∑
                                              i=0   i!
                                                            = e − λ 0 t (1 + λ 0 t ).


Так как λ0=λс , то
                                                                          t
                                                            Pc(t)=e-λñ (1+λct) .


Определяем fc(t). Имеем
                       dp ( t )
             fc (t) = − c
                         dt
                                                    [                                   ]
                                = − − λ c e − λ c t (1 + λ c t ) + λ c e − λ c t = λ2c te − λ c t .



Определяем λc (t) . Получим

Страницы