Решение задач по курсу "Прикладная теория надежности". Липатов И.Н. - 26 стр.

                                                   fc (t)        λ2c te − λ c t       λ2c t
                                            λc(t)=          =                      =          .
                                                   p c ( t ) e − λ c t (1 + λ c t ) 1 + λ c t

0пределяем Pc(50), fc(50), λc(50).Имеем
           pc(50)=e-0.01∗50(1+0.01∗50)=e-0.5∗1.5=0.6065∗1.5≈0.91 ,
           fc(50)=0.012∗50∗e-0.01∗50=0.01∗0.5∗e-0.5≈3∗10-3 1/час ,
                     f (50) 3 ⋅ 10 −3
           λc(50)= c          =       ≈ 3.3 ⋅ 10 −3 1/час .
                     p c (50)   0.91

     Задача 5.2. Радиопередатчик имеет интенсивность отказов λ0=0,4*10-3 1/час. Его дуб-
лирует такой же передатчик, находящийся до отказа основного передатчика в режиме ожи-
дания (в режиме облегченного резерва). В этом режиме интенсивность отказов передатчика
λ1= 0,06*10-3 1/час. Требуется вычислить вероятность безотказной работы передающей сис-
темы в течение времени t = 100 час., а также среднее время безотказной работы mtс, частоту
отказов fc(t) и интенсивность отказов λс(t).
    Решение. В рассматриваемом случае кратность резервирования m = 1. Используя фор-
мулу (5.З), получим
                                 ⎡    1
                                        a                  ⎤
                                                                         [                    ]
         p c ( t ) = e − λ 0 t ⋅ ⎢1 + ∑ i (1 − e − λ1t ) i ⎥ = e − λ 0 t 1 + a 1 (1 − e − λ1t ) ;
                                 ⎣ i =1 i !                ⎦

               i −1
                    ⎛ λ ⎞                             0
                                                          ⎛ λ ⎞ λ
          ai = ∏⎜ j + 0 ⎟ ;                     a1 = ∏ ⎜ j + 0 ⎟ = 0 .
               j= 0 ⎝ λ1 ⎠                           j= 0 ⎝ λ1 ⎠ λ1


Тогда
                                         ⎛    λ   λ           ⎞
                   p c ( t ) = e − λ 0 t ⎜ 1 + 0 − 0 e − λ 1t ⎟ .                                 (5.13)
                                         ⎝    λ1 λ1           ⎠

Из (5.13) имеем
                         −0.4⋅10 −3 ⋅100   ⎛    0.4 ⋅ 10 −3   0.4 ⋅ 10 −3 −0.06⋅10−3 ⋅100 ⎞
         p c (100) = e                     ⎜1 +             −             e               ⎟=
                                           ⎝ 0.06 ⋅ 10 −3 0.06 ⋅ 10 −3                    ⎠
                 ⎛ 40 40 −0.006 ⎞
       = e −0.04 ⎜ 1 +   − e       ⎟ ≈ 0.96[1+6.67-6.67(1-0.006)]≈0.998 .
                 ⎝     6     6     ⎠
Определим mtс по формуле (5.4.). Получим
                                   ⎛           ⎞
                                   ⎜           ⎟
                1    1
                          1      1 ⎜       1 ⎟     1 ⎛      λ0 ⎞
      m tc =        ∑
               λ 0 i=0
                               =
                            λ1 λ 0 ⎜
                                     1+          =   ⎜1 +
                                            λ1 ⎟ λ 0 ⎝ λ1 + λ 0 ⎠
                                                                 ⎟=
                       1+ i        ⎜ 1+        ⎟
                            λ0     ⎝        λ0 ⎠
                    1      ⎛    0.4 ⋅ 10 −3 ⎞
            =              ⎜1 +             ⎟ = 4668 час .
               0.4 ⋅ 10 −3 ⎝ 0.46 ⋅ 10 −3 ⎠
Определим fc(t) . Имеем