Решение задач по курсу "Прикладная теория надежности". Липатов И.Н. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

При поэлементном резервировании резервируются отдельно элементы системы
(рис.6.1.). Определим количественные характеристики надежности системы.
Запишем вероятность отказа i - ой группы. Имеем
q t q t
iij
j
m
() ()=
=
∏
0
; in= 1, , (6.1)
где q
ij
(t) - вероятность отказа элемента Э
ij
на интервале времени (0, t).
Запишем вероятность безотказной работы j-ой группы. Получим
[]
pt qt p t
ii ij
jo
m
i
() () ()=− =− −
=
∏
111 ; in= 1, , (6.2)
где P
ij
(t) - вероятность безотказной работы элемента Э
ij
на интервале
времени (0,t); m
i
- кратность резервирования элемента j-ой группы.
Запишем вероятность безотказной работы системы с поэлементным
резервированием
p t p t
ci
i
n
() ()=
=
∏
1
или
[]
pt pt
cij
j
m
i
n
i
() () .=−−
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
==
∏∏
11
01
(6.3)
Для равнонадежных элементов системы и m
i
=m=const имеем
P
ij
(t)=P(t) ; (6.4)
P
c
(t) =[1-[1-P(t)]
m+1
]
n
.
(6.5)
Если
P
ij
(t)=P
i
(t), (6.6)
то формула (6.З) примет вид
[]
{
}
pt pt
ci
m
i
n
i
() ()=−−
+
=
∏
11
1
1
.
(6.7)
При экспоненциальном законе надежности, когда P
i
(t)=e
-λi
t
,
[]
{
}
pt e
c
t
m
i
n
i
i
() .=−−
−
+
=
∏
11
1
1
λ
(6.8)
В этом случае формула (6.5) примет вид
[]
{
}
pt e
c
t
m
n
() ,=−−
−
+
11
1
λ
(6.9)
а среднее время безотказной работы системы определяется соотношением
mptdt
tc c
=
∞
∫
() .
0
(6.10)
Подставляя (6.9) в (6.10),получим 
    При поэлементном резервировании резервируются отдельно элементы системы
(рис.6.1.). Определим количественные характеристики надежности системы.
   Запишем вероятность отказа i - ой группы. Имеем
                                                m
                            q i ( t ) = ∏ q ij ( t ) ; i = 1, n,                                           (6.1)
                                                j= 0

 где qij(t) - вероятность отказа элемента Эij на интервале времени (0, t).
  Запишем вероятность безотказной работы j-ой группы. Получим

                                                               mi

                                                                      [
                    p i ( t ) = 1 − q i ( t ) = 1 − ∏ 1 − p ij ( t ) ; i = 1, n ,
                                                               j= o
                                                                                              ]            (6.2)

 где Pij(t) - вероятность безотказной работы элемента Эij на интервале
 времени (0,t); mi - кратность резервирования элемента j-ой группы.
   Запишем вероятность безотказной работы системы с поэлементным
 резервированием

                                n
                    p c (t) = ∏ p i (t)
                               i =1
или
                               n ⎧  mi
                                                     ⎫
                 p c ( t ) = ∏ ⎨1 − ∏ 1 − p ij ( t ) ⎬.
                             i =1 ⎩
                                                           [                   ]                             (6.3)
                                    j= 0             ⎭
 Для равнонадежных элементов системы и mi=m=const                                                 имеем

                                                           Pij(t)=P(t) ;                                     (6.4)

                                      Pc(t) =[1-[1-P(t)]m+1]n .                                              (6.5)

Если
                                                       Pij(t)=Pi(t),                                         (6.6)

то формула (6.З) примет вид

                                        {                                          }
                                n
                    p c ( t ) = ∏ 1 − [1 − p i ( t )]
                                                                          m i +1
                                                                                          .
                               i =1
(6.7)
                                                        t
При экспоненциальном законе надежности, когда Pi(t)=e-λi ,

                                            {                                        }.
                                    n

                                                       [                ]
                                                                            m i +1
                      p c (t) = ∏ 1 − 1 − e −λit                                                             (6.8)
                                 i =1
В этом случае формула (6.5) примет вид


                                        {         [                 ]          },
                                                                        m +1       n
                         p c ( t ) = 1 − 1 − e − λt                                                       (6.9)


а среднее время безотказной работы системы определяется соотношением
                                                       ∞

                                      m tc = ∫ p c ( t )dt.                                               (6.10)
                                                       0

Подставляя (6.9) в (6.10),получим

Страницы