Решение задач по курсу "Прикладная теория надежности". Липатов И.Н. - 38 стр.

                                                           1
                                                                (λ     t)i
                  Pc ( t ) = e         − λ   0   t
                                                     ⋅    ∑
                                                          i=0
                                                                     0

                                                                     i!
                                                                           = e   − λ   0   t
                                                                                               (1 + λ   0   t)

      или
                                                                 −2 λt
                                        Pc ( t ) = e                     (1 + 2 λ t ) .
Определим mtc . Получим
                                                                                               1
                                   m             = T0 (m             + 1); T0 =
                                       tc                        0
                                                                                       λ           0
или
                                                                  1       1
                                             m             =         ⋅2 =   .
                                                                2 ⋅λ      λ
                                                     tc

Определим частоту отказов fc(t). Имеем

             f c (t ) = −
                            dPc ( t )
                              dt
                                                     [
                                      = − − 2 ⋅ λ ⋅ e − 2 λ ⋅ t (1 + 2 ⋅ λ ⋅ t ) + 2 ⋅ λ ⋅ e − 2 ⋅ λ ⋅ t         ]
или
                           f c ( t ) = 4 λ 2 ⋅ t ⋅ e − 2 λ ⋅t .
Определим интенсивность отказов λc(t). Получим
                                     f c (t)      4 ⋅λ2 ⋅t
                       λ c (t ) =             =                 .
                                     Pc ( t )   1 + 2 ⋅λ ⋅t
       Задача 8.2. Цифровая вычислительная машина состоит из 1024 однотипных ячеек и
сконструирована так, что есть возможность заменить любую из отказавших ячеек. В составе
ЗИП имеется 3 ячейки, каждая из которых может заменить любую отказавшую. Требуется
определить вероятность безотказной работы ЦВМ Pc(t) , среднее время безотказной работы
mtc, частоту отказов fc(t), интенсивность отказов λc(t). Также требуется определить Pc(t) при
t=10000 час. Известно, что интенсивность отказов ячейки λ=0.12⋅10−6 1/час. Под отказом
будем понимать событие, когда ЦВМ не может работать из-за отсутствия ЗИПа, т.е. когда
весь ЗИП израсходован и отказала еще одна ячейка памяти ЦВМ.
       Решение. Так как любая ячейка из состава ЗИПа может заменить любую отказавшую
ячейку ЦВМ, то имеет место “скользящее” резервирование. В нашем случае число элемен-
тов основной системы n=1024, интенсивность отказов нерезервированной системы
λ0=nλ=1024⋅0.12⋅10−6 ≈ 1.23⋅10−4 1/час, число резервных элементов m0=3. На основании
формулы (8.1) имеем
                               3
                                   (λ 0 ⋅ t )i                               λ2 ⋅ t 2  λ3 ⋅ t 3
         Pc ( t ) = e − λ 0 ⋅t ∑               = e − λ 0 ⋅t ⋅ ( 1 + λ 0 ⋅ t + 0       + 0       ).
                             i=0       i!                                       2         6
Определим mtc. Получим
                                                                                               1
                                   m tc = T 0 ⋅ ( m 0 + 1 ) ; T 0 =
                                                                                       λ           0
или
                                      1
                             m tc =             ( 3 + 1 ) ≈ 3 2 5 0 0 час.
                                1,2 3 ⋅ 1 0 − 4
Определим частоту отказов fc(t). Имеем
                                d Pc ( t )   1
                            f c (t ) = −   =   ⋅ λ 40 ⋅ t 3 ⋅ e − λ 0 ⋅ t .
                                    dt       6
Определим интенсивность отказов λc(t). Получим