Получение оптимальных проектных решений и их анализ с использованием математических моделей. Литовка Ю.В. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В качестве примеров объектов, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных произ-
водных второго порядка, могут быть рассмотрены следующие.
1. Объекты, характеризующиеся сложной гидродинамикой, которые описываются гидродинамической мо-
делью диффузионного типа.
2. Объекты, для которых необходимы расчеты тепловых, электрических и других полей. Такие объекты
описываются уравнениями теплопроводности Фурье, массопроводности и др.
В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение теплопроводности:
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
λ
=
τ∂
∂
2
2
2
2
2
2
z
T
y
T
x
T
c
T
t
, (1.69)
где T(τ, x, y, z) – температура в точке с координатами (x, y, z) в момент времени τ; λ – коэффициент теплопро-
водности;
с
t
– теплоемкость; ρ – плотность.
Уравнение (1.69) записано при допущении, что коэффициент теплопроводности, теплоемкость и плотность
постоянны.
Обозначим для компактности
а = λ/(c
t
ρ ).
Для простоты будем рассматривать случай распространения тепла через плоскую стенку, т.е. уравнение
(1.69) примет вид
2
2
),(),(
x
xT
a
xT
∂
τ∂
=
τ∂
τ∂
, (1.70)
0 ≤ х ≤ Х; 0 ≤ τ ≤ τ
max
;
Т(0, х) = φ(х) – начальное условие;
Т(τ, 0) = f
1
(τ) – первое граничное условие;
Т(τ, Х) = f
2
(τ) – второе граничное условие.
Такие краевые условия называются условиями первого рода.
Введем равномерную сетку по переменным: τ – с шагом ∆τ,
х – с шагом ∆х. Будем называть слоем множе-
ство всех узлов сетки, имеющих одно и то же значение координаты τ.
Для аппроксимации уравнения (1.70) введем шаблон, изображенный на рис. 1.8.
Введем обозначение
Т(τ
j
, x
i
) = T
j,i
.
Заменим производные разностями:
τ∆
−
≈
τ∂
∂
+ ijij
TT
T
,,1
;
2
1,,1,
2
2
2
x
TTT
x
T
ijijij
∆
+−
≈
∂
∂
−+
.
τ
j
, x
i-1
τ
j
, x
i
τ
j
, x
i+1
τ
j+1
, x
i
Рис. 1.8. Шаблон явной разностной схемы
Подставим разностные формы в уравнение (1.70):
2
1,,1,,1,
2
x
TTT
a
TT
ijijijijij
∆
+
−
=
τ∆
−
−++
,
откуда
Т
j+1,i
= a
2
x
∆
τ∆
(T
j,i+1
– 2T
j,I
+ T
j,i-1
) + T
j,i
. (1.71)
Поскольку решение ищется по явной формуле (1.71), данная схема называется явной разностной.
Находить решение такой системы следует по слоям.
Рассмотрим вычисление первого слоя, для чего зададим
j = 0. Крайняя точка первого слоя определится из
краевого условия:
Т
1,0
= f
1
(τ
1
). Следующая точка определяется из выражения (1.71) при i = 1:
Т
1,1
= a
2
x
∆
τ∆
(T
0,2
– 2T
0,1
+ T
0,0
) + T
0,1
;
при этом Т
0,0
, Т
0,1
, Т
0,2
определяются из начального условия φ(х).
Увеличивая
i, рассчитаем все внутренние точки первого слоя, а крайнюю (при х = Х) найдем из граничного
условия
Т
1,N
= f
2
(τ
1
).

Страницы