Составители:
Рубрика:
Chair of Math. Analysis, SPb. State University. http://www.math.spbu.ru/user/analysis/tutorial/ Nov. 14, 2004
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
А. А. ЛОДКИН
Цель настоящего пособия — описать инвариантную (бескоординатную) технику
дифференцирования векторных полей, если они заданы также инвариантным обра-
зом, обсудить физический смысл дифференциальных операций и рассмотреть неко-
торые примеры.
1. Обозначения
Жирным шрифтом будем обозначать векторы в R
3
. Например,
r = (r
1
, r
2
, r
3
) = (x, y, z) — текущая переменная (обычно — аргумент скалярной
или векторной функции, заданной в некоторой области пространства G ⊂ R
3
).
F = (F
1
, F
2
, F
3
) = (P, Q, R) — векторное поле в G, то есть отображение из G в
R
3
.
h = dr = (h
1
, h
2
, h
3
) = (dr
1
, dr
2
, dr
3
) — приращение (дифференциал) текущей
переменной.
h· , ·i — скалярное произведение векторов.Cкалярные поля, то есть вещественные
или комплекснозначные функции, заданные в G, будут обозначаться обычным шриф-
том. Все поля в этом тексте будут предполагаться гладкими.
2. Основная техника
Рассмотрим классические дифференциальные операторы градиента, ротора (вих-
ря) и дивергенции
grad f =
µ
∂f
∂x
,
∂f
∂y
,
∂f
∂z
¶
,
rot F =
µ
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
,
∂P
∂z
−
∂R
∂x
,
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
¶
,
div F =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
.
Их можно записать в более компактном виде, используя дифференциальный опе-
ратор набла
∇ =
µ
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
¶
= (∂
1
, ∂
2
, ∂
3
).
Если к нему относиться (чисто формально) как к вектору, то, умножая этот вектор на
скаляр f или рассматривая его произведение (векторное или скалярное) на вектор F ,
1
Страницы
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- …
- следующая ›
- последняя »
