Составители:
Рубрика:
Доказательство. Проверяется непосредственно. Например, поле F (r) = ha, ri b в
координатной форме выглядит так:
F (r) = (a
1
r
1
+ a
2
r
2
+ a
3
r
3
)(b
1
, b
2
, b
3
) =
= ((a
1
r
1
+ a
2
r
2
+ a
3
r
3
)b
1
, (a
1
r
1
+ a
2
r
2
+ a
3
r
3
)b
2
, (a
1
r
1
+ a
2
r
2
+ a
3
r
3
)b
3
) =
= (F
1
(r), F
2
(r), F
3
(r)),
откуда
∂F
i
∂r
j
= a
j
b
i
, i, j ∈ {1, 2, 3}. Дальнейшее очевидно. ¤
Заметим, что формулы из этой таблицы в принципе обслуживают все линейные
поля, так как a) дифференциальные операторы линейны и b) произвольное линейное
поле представимо в виде линейной комбинации полей вида r 7→ ha, ri b.
Теоремы 1 и 2 подсказывают следующий алгоритм вычисления ротора (диверген-
ции) нелинейных полей.
Шаг 1: линеаризуем поле F , переходя к его дифференциалу dF ;
Шаг 2: вычисляем ротор (дивергенцию) dF с помощью таблицы производных.
Проиллюстрируем алгоритм рядом примеров.
Пример 1. Пусть F (r) =
a × r
| r|
3
. Сначала вычислим дифференциал dF
r
пользуясь
правилом Лейбница, которое в векторной ситуации расщепляется в четыре разных
правила:
d(fg) = (df)g + fdg;
d(fF ) = (df)F + fdF ;
dhF
1
, F
2
i = hdF
1
, F
2
i + hF
1
, dF
2
i;
d(F
1
× F
2
) = dF
1
× F
2
+ F
1
× dF
2
.
Обозначим для краткости | r|
3
через ρ. В нашем случае получается следующее.
dF
r
= d
µ
a × r
ρ
3
¶
= d(a × r)
1
ρ
3
+ (a × r) d
µ
1
ρ
3
¶
=
= (a × dr)
1
ρ
3
−
3
ρ
4
d(ρ)(a × r).
Подсчитав отдельно дифференциал модуля
d(ρ) = d
p
hr, ri =
1
2
p
hr, ri
dhr, ri =
1
2
p
hr, ri
(hdr, ri + hr, dri) =
1
ρ
hr, dri, (3)
мы окончательно получаем:
dF
r
(dr) =
1
ρ
3
a × dr −
1
ρ
5
h3r, dri (a × r).
4
