Составители:
Рубрика:
мы получим перечисленные выше операторы:
∇f = (∂
1
f, ∂
2
f, ∂
3
f) = grad f,
∇ × F = (∂
2
F
3
− ∂
3
F
2
, ∂
3
F
1
− ∂
1
F
3
, ∂
1
F
2
− ∂
2
F
1
) = rot F ,
h∇, F i = ∂
1
F
1
+ ∂
2
F
2
+ ∂
3
F
3
= div F .
Имеется известное противоречие между координатным классическим определени-
ем этих дифференциальных операторов и необходимостью на практике применять
их к полям, заданным в бескоординатной форме (например, к полю, заданному фор-
мулой F (r) =
a × r
| r|
3
, где a ∈ R
3
— некоторый постоянный вектор). Естественно
ожидать, что не только результат вычисления может быть записан без привлече-
ния координат x, y, z, но и само вычисление рассматриваемых операторов может, как
правило, проводиться в векторной форме.
Инвариантность дивергенции и вихря относительно замены переменных означает
следующее. Пусть Ψ : R
3
→ R
3
— гладкое обратимое отображение, а
e
F = Ψ ◦ F ◦ Ψ
−1
— векторное поле в области
e
G = Ψ(G). Перейдем к новым координатам
e
r = Ψ(r) для
записи как аргумента, так и значения векторного поля. Тогда имеют место следующие
равенства:
div
e
F (
e
r) = div F (r),
rot
e
F (
e
r) = Ψ(rot F (r)).
Эти свойства можно доказать с помощью теории дифференциальных форм, однако
в случае дивергенции имеется и совсем простое объяснение.
Воспользуемся тем, что div F есть след tr(F
0
) матрицы
F
0
=
∂P
∂x
∂P
∂y
∂P
∂z
∂Q
∂x
∂Q
∂y
∂Q
∂z
∂R
∂x
∂R
∂y
∂R
∂z
.
Таким образом,
div
e
F = tr((Ψ ◦ F ◦ Ψ
−1
)
0
) = tr(Ψ
0
F
0
(Ψ
0
)
−1
).
Поскольку подобные матрицы имеют одинаковые следы,
tr(Ψ
0
F
0
(Ψ
0
)
−1
) = tr F
0
.
Следовательно,
div
e
F = div F .
Правила, которые мы собираемся сформулировать
1
, основаны на следующем утвер-
ждении.
1
Идея описываемой техники принадлежит В. И. Полищуку
2