Составители:
Рубрика:
В силу (5),
d = lim
ε→0
1
V(B
ε
(a))
ZZZ
B
ε
(a)
div F dV = div F (a)
(мы воспользовались тем, что среднее значение непрерывной функции на шаре, стя-
гивающемся в точку a, равно значению этой функции в a).
Если d отрицательно, то это означает, что поле не “создается”, а “исчезает” внутри
маленькой шаровой окрестности точки (“стекает” в не¨е), а div F (a) тогда трактуется
как “плотность стока” поля в точке a.
Вернемся теперь к примеру 2. Условие div F (r) ≡ 0 в области G означает отсут-
ствие в ней источников поля. Если, скажем, G = R
3
\ {0}, то источник поля может
находиться единственно лишь в точке ноль (в случае гравитационного поля F это
центральная точечная масса, сосредоточенная в начале координат). Наше решение
(4) на стр. 6 показывает, что такое поле направлено радиально, а его абсолютная
величина убывает по закону обратных квадратов:
|F (r)| =
|Cr|
ρ
3
=
|C|
ρ
2
.
Положим для красоты C = − γMm (γ, M, m > 0), r
0
= r/ρ. Тогда
F (r) = γ
Mm
ρ
2
(−r
0
),
и мы можем торжественно объявить, что “на кончике пера”, не совершая никаких экс-
периментов, вывели ньютоновский закон всемирного тяготения (γ, M, m интерпрети-
руются как постоянная тяготения и массы взаимодействующих тел, −r
0
— единичный
вектор, указывающий направление силы).
7
