Составители:
Рубрика:
Напомним, что при вычислении ротора и дивергенции от дифференциала мы долж-
ны считать его аргументом dr, а r — константой. Тогда, согласно второй строке таб-
лицы производных,
rot
1
ρ
3
(a × dr) =
2
ρ
3
a,
div
1
ρ
3
(a × dr) = 0.
Третья строка таблицы полезна для применения наших дифференциальных опера-
торов ко второму слагаемому:
rot
3
ρ
5
hr, dri (a × r) =
3
ρ
5
r × (a × r) =
=
3
ρ
5
(hr, ria − hr, a ir) =
3
ρ
3
a −
3hr, ai
ρ
5
r,
div
3
ρ
5
hr, dri (a × r) =
3
ρ
5
hr, a × ri = 0.
Окончательный ответ:
rot
a × r
ρ
3
= −
1
ρ
3
a +
3hr, ai
ρ
5
r,
div
a × r
ρ
3
= 0.
Пример 2. Рассмотрим центральное поле, то есть поле вида F (r) = ϕ(ρ) r , где
ρ = | r|, в области G = R
3
\ {0}. Такое поле постоянно по абсолютной величине на
сферах ρ = const. Допустим, что функция ϕ гладкая. Поставим вопрос следующим
образом:
1) вычислить ротор и дивергенцию поля;
2) определить, при каких условиях поле окажется бездивергентным (то есть ко-
гда div F (r) ≡ 0).
Как и в предыдущем примере, сначала вычислим дифференциал.
dF
r
= ϕ
0
(ρ) dρ r + ϕ(ρ) dr
что, с учетом формулы (3) на стр. 4, превращается в
dF
r
=
ϕ
0
(ρ)
ρ
hr, dri r + ϕ(ρ) dr.
Применяя третье и первое правила из теоремы 2, мы получим
rot dF
r
=
ϕ
0
(ρ)
ρ
r × r = 0,
div dF
r
=
ϕ
0
(ρ)
ρ
hr, ri + 3ϕ(ρ) = ρϕ
0
(ρ) + 3ϕ(ρ).
5
