Составители:
Рубрика:
Теорема 1 (Правила дифференцирования). Пусть F — гладкое поле, dF
r
— его диф-
ференциал в точке r ∈ G (то есть линейное отображение h = dr ∈ R
3
7→ dF
r
(h) =
F
0
(r)h ∈ R
3
). Тогда
rot F (r) = rot dF
r
(1)
div F (r) = div dF
r
(2)
(правая часть постоянна по переменной h и поэтому мы эту переменную опускаем).
Доказательство. Пусть Φ(h) = (Φ
1
(h), Φ
2
(h), Φ
3
(h)) = dF
r
(h),
h = (h
1
, h
2
, h
3
). Тогда
Φ
1
(h) =
µ
∂P
∂x
(r)h
1
+
∂P
∂y
(r)h
2
+
∂P
∂z
(r)h
3
¶
,
Φ
2
(h) =
µ
∂Q
∂x
(r)h
1
+
∂Q
∂y
(r)h
2
+
∂Q
∂z
(r)h
3
¶
,
Φ
3
(h) =
µ
∂R
∂x
(r)h
1
+
∂R
∂y
(r)h
2
+
∂R
∂z
(r)h
3
¶
.
Утверждение теоремы следует из того, что матрица Якоби Φ
0
(h) отображения Φ в
любой точке h совпадает с матрицей Якоби F
0
(r), а ротор и дивергенция рассматри-
ваемых отображений выражаются через элементы этих матриц. Например, мы имеем
равенства
∂
2
Φ
3
(h) − ∂
3
Φ
2
(h) =
∂R
∂y
(r) −
∂Q
∂z
(r),
∂
3
Φ
1
(h) − ∂
1
Φ
3
(h) =
∂P
∂z
(r) −
∂R
∂x
(r),
∂
1
Φ
2
(h) − ∂
2
Φ
1
(h) =
∂Q
∂x
(r) −
∂P
∂y
(r),
влекущие формулу (1). ¤
По доказанной теореме отыскание ротора и дивергенции гладкого поля сводится к
отысканию ротора и дивергенции дифференциала, то есть линейного поля.
Теперь покажем, как дифференцировать линейные поля. Сначала рассмотрим по-
ля, чаще всего встречающихся на практике.
Теорема 2 (Таблица производных). Пусть a, b — фиксированные векторы из R
3
.
Следующая таблица дает значения простейших линейных полей F .
F (r) rot F div F
r 0 3
a × r 2a 0
ha, rib a × b ha, bi
3
