Составители:
Рубрика:
Таким образом,
rot F (r) = 0,
div F (r) = ρϕ
0
(ρ) + 3ϕ(ρ).
Отвечая на второй вопрос, приравняем div F (r) к нулю. Тогда получим дифферен-
циальное уравнение
ρϕ
0
(ρ) = −3ϕ(ρ),
или
ϕ
0
(ρ)
ϕ(ρ)
= −
3
ρ
,
общим решением которого являются функции
ϕ(ρ) =
C
ρ
3
(C ∈ R).
Таким образом, центральное бездивергентное поле имеет вид
F (r) =
Cr
ρ
3
. (4)
3. Немного физики
Напомним физический смысл ротора и дивергенции. Вектор rot F (r) характери-
зует закрученность поля F в точке r пространства. Например, если F есть поле
скоростей точек твердого тела, вращающегося вокруг начала координат с угловой
скоростью ω, то F (r) = ω × r. В этом случае rot F (r) ≡ 2ω.
Величина div F (r) характеризует интенсивность (плотность) источника поля F
в точке a. Для понимания дальнейшего полезно представлять себе F (r) как вектор
скорости установившегося течения какой-либо среды (жидкости или газа) в точке r.
По формуле Гаусса – Остроградского
ZZZ
B
ε
(a)
div F dV =
ZZ
S
ε
(a)
hF , ni dσ, (5)
где B
ε
(a) — шар радиуса ε с центром в a, S
ε
(a) — его поверхность, n — единичная
внешняя нормаль к ней, V — мера Лебега в R
3
(объ¨ем), σ — мера Лебега на поверх-
ности сферы (площадь). Тогда поверхностный интеграл в правой части — это поток
вектора F через сферу S
ε
(a) в направлении наружу (в гидродинамической интерпре-
тации — количество жидкости, за единицу времени “вытекающей” из шара, а значит,
“произведенной” в нем). Если поделить этот интеграл на объ¨ем шара, то мы получим
среднюю производительность поля в точках шара. Устремляя ε к нулю, в пределе
получаем плотность d источника поля в точке a:
d = lim
ε→0
1
V(B
ε
(a))
ZZ
S
ε
(a)
hF , ni dσ.
6
