Экономико-математические модели управления производством (теоретические аспекты). Ломкова Е.Н - 14 стр.

имеет необходимые производные. Предполагается, что производственная
функция f(X) удовлетворяет двум аксиомам. Первая из них утверждает,
что существует подмножество пространства затрат, называемое экономи-
ческой областью Е, в которой увеличение любого вида затрат не приво-
дит к уменьшению выпуска. Таким образом, если X1, X2 – две точки этой
области, то X1 ≥ X2 влечет f(X1) ≥ f(X2). В дифференциальной форме это
выражается в том, что в этой области все первые частные производные
функции неотрицательны: ∂f/∂x1 ≥ 0 (у любой возрастающей функции
производная больше нуля). Эти производные называются предельными
продуктами, а вектор ∂f/∂X = (∂f/∂x1, …, ∂f/∂xm) – вектором предельных
продуктов (показывает во сколько раз изменится выпуск продукции при
изменении затрат).
     Вторая аксиома утверждает, что существует выпуклое подмножество
S экономической области, для которой подмножества {X∈S:f(X) ≥ a} вы-
пуклы для всех а ≥ 0. В этом подмножестве S матрица Гёссе, составлен-
ная из вторых производных функции f(X), отрицательно определена, сле-
довательно, ∂2f/∂x2i < 0 для любого i = 1, …, m.
     Остановимся на экономическом содержании этих аксиом. Первая ак-
сиома утверждает, что производственная функция не какая-то совершен-
но абстрактная функция, придуманная теоретиком-математиком. Она,
пусть и не на всей своей области определения, а только лишь на ее части,
отражает экономически важное, бесспорное и в то же время тривиальное
утверждение: в разумной экономике увеличение затрат не может при-
вести к уменьшению выпуска. Из второй аксиомы поясним только эконо-
мический смысл требования, чтобы производная ∂2f/∂x2i была меньше
нуля для каждого вида затрат. Это свойство называется в экономике за-
коном убывающей отдачи или убывающей доходности: по мере увеличения
затрат, начиная с некоторого момента (при входе в область S!), начина-
ет уменьшаться предельный продукт. Классическим примером этого за-
кона является добавление все большего и большего количества труда в
производство зерна на фиксированном участке земли. В дальнейшем
подразумевается, что производственная функция рассматривается на об-
ласти S, в которой обе аксиомы справедливы.
     Составить производственную функцию данного предприятия можно,
даже ничего не зная о нем. Надо только поставить у ворот предприятия
счетчик (человека или какое-то автоматическое устройство), который бу-
дет фиксировать Х – ввозимые ресурсы и Y – количество продукции, ко-
торую предприятие произвело. Если накопить достаточно много такой
статической информации, учесть работу предприятия в различных режи-
мах, то потом можно прогнозировать выпуск продукции, зная только объ-
ем ввезенных ресурсов, а это и есть знание производственной функции.

                                  14