Экономико-математические модели управления производством (теоретические аспекты). Ломкова Е.Н - 15 стр.

             2.4. Производственная функция Кобба-Дугласа
     Рассмотрим одну из наиболее распространенных производственных
функций – функцию Кобба-Дугласа: Y = AKαLβ, где A, α, β > 0 – кон-
станты, α + β < 1; К – объем фондов либо в стоимостном выражении, ли-
бо в натуральном количестве, скажем, число станков; L – объем трудовых
ресурсов, также в стоимостном выражении, либо в натуральном количе-
стве – число рабочих, человеко-дней и т. п. и, наконец, Y – выпуск про-
дукции в стоимостном или натуральном выражении. Проверим, выпол-
няются ли требования к производственным функциям. Положительность
предельных продуктов:
                   ∂Y/∂K = AαKα-1Lβ > 0, ∂Y/∂L = AβKαLβ-1 > 0.
     Отрицательность вторых частных производных, т. е. убывание предель-
ных продуктов: ∂Y2/∂K2 = Aα(α–1)Kα-2Lβ < 0, ∂Y2/∂L2 = Aβ(β–1)KαLβ-2 > 0.
     Перейдем к основным экономико-математическим характеристикам
производственной функции Кобба-Дугласа. Средняя производитель-
ность труда определяется как y = Y/L – отношение объема произведен-
ного продукта к количеству затраченного труда; средняя фондоотдача
k = Y/K – отношение объема произведенного продукта к величине фондов.
     Для функции Кобба-Дугласа средняя производительность труда
y = AK αLβ−1, и в силу условия β < 1 является убывающей функцией L, т. е.
с увеличением затрат труда средняя производительность труда пада-
ет. Этот вывод допускает естественное объяснение – поскольку величина
второго фактора К остается неизменной, то, значит, вновь привлекаемая
рабочая сила не обеспечивается дополнительными средствами производст-
ва, что и приводит к снижению производительности труда (это справедли-
во и в самом общем случае – на уровне производственных множеств).
     Предельная производительность труда ∂Y/∂L = AβKαLβ-1 > 0, откуда
видно, что для функции Кобба-Дугласа предельная производительность
труда пропорциональна средней производительности и меньше ее. Ана-
логично определяются средняя и предельная фондоотдачи. Для них так-
же справедливо указанное соотношение – предельная фондоотдача про-
порциональна средней фондоотдаче и меньше ее.
     Важное значение имеет такая характеристика, как фондовооружен-
ность f = K/L, показывающая объем фондов, приходящийся на одного ра-
ботника (на одну единицу труда).
     Найдем теперь эластичность продукции по труду:
           (∂Y/∂L):(Y/L) = (∂Y/∂L)L/Y = AβKαLβ-1L/(AKαLβ) = β.
     Таким образом, ясен смысл параметра β – это эластичность (от-
ношение предельной производительности труда к средней производи-
тельности труда) продукции по труду. Эластичность продукции по тру-
ду означает, что для увеличения выпуска продукции на 1 % необходимо
                                   15