Экономико-математические модели управления производством (теоретические аспекты). Ломкова Е.Н - 17 стр.

Итак, производитель решает следующую задачу: РТ→max, T∈τ. Эта ак-
сиома резко упрощает ситуацию выбора. Так, если цены положительны,
что естественно, то компонента «выпуск» решения этой задачи автомати-
чески будет лежать на кривой производственных возможностей. Дейст-
вительно, пусть T = (X,Y) – какое-нибудь решение задачи производителя.
Тогда существует Z∈Kx, Z ≥ Y, следовательно, P(X, Z) ≥ P(X, Y), значит,
точка (X, Z) также есть решение задачи производителя.
     Для случая двух видов продуктов задачу можно решить графически
(рис. 2.3). Для этого надо «двигать» прямую линию, перпендикулярную
вектору Р, в направлении, куда он показывает; тогда последняя точка, ко-
гда эта прямая линия еще пересекает производственное множество, и бу-
дет решением (на рис. 2.3. это точка Т). Как легко видеть, строгая выпук-
лость нужной части производственного множества во втором квадранте
гарантирует единственность решения. Такие же рассуждения действуют
и в общем случае, для большего числа видов затрат и выпуска. Однако
мы не пойдем по этому пути, а используем аппарат производственных
функций и производителя назовем фирмой. Итак, выпуск фирмы можно
охарактеризовать одной величиной – либо объемом выпуска, если выпус-
кается один товар, либо суммарной стоимостью всего выпуска. Простран-
ство затрат m-мерно, вектор затрат Х = (х1, …, хm). Затраты однозначно оп-
ределяют выпуск Y, а эта связь и есть производственная функция Y = f(X).
                                                          у




                                              T


                                              P

                       х
                     Рис. 2.3. Решение задачи производителя
    В данной ситуации обозначим через Р вектор цен на товары-затраты
и пусть v – цена единицы выпускаемого товара. Следовательно, прибыль
W, являющаяся в итоге функцией Х (и цен, но они считаются постоян-
ными), есть W(X) = vf(X) – PX→max, X ≥ 0. Приравнивая частные произ-
водные функции W к нулю, получим:
                   v(∂f/∂xj) = pj для j = 1, …, m или v(∂f/∂X) = P (2.1)
    Будем предполагать, что все затраты строго положительны (нулевые
можно просто исключить из рассмотрения). Тогда точка, даваемая соот-
ношением (2.1), оказывается внутренней, т. е. точкой экстремума. И по-
скольку еще предполагается отрицательная определенность матрицы Гёс-
се производственной функции f(Х) (исходя из требований к производст-

                                      17