Экономико-математические модели управления производством (теоретические аспекты). Ломкова Е.Н - 18 стр.

венным функциям), то это точка максимума.
      Итак, при естественных предположениях на производственные
функции (эти предположения выполняются для производителя со здра-
вым смыслом и в разумной экономике) соотношение (2.1) дает решение
задачи фирмы, т. е. определяет объем Х* перерабатываемых ресурсов, в
результате чего получается выпуск Y* = f(Х*) Точку Х*, или (Х*,f(Х*)) на-
зовем оптимальным решением фирмы. Остановимся на экономическом
смысле соотношения (2.1). Как говорилось, (∂f/∂X) = (∂f/∂x1,…,∂f/∂xm) на-
зывается предельным вектором-продуктом, или вектором предельных
продуктов, а ∂f/∂xi называется i-м предельным продуктом, или откликом
выпуска на изменение i-го товара затрат. Следовательно, v∂f/∂xidxi –
это стоимость i-го предельного продукта, дополнительно полученного из
dxi единиц i-го ресурса. Однако стоимость dxi единиц i-го ресурса равна
рidxi, т. е. получилось равновесие: можно вовлечь в производство допол-
нительно dxi единиц i-го ресурса, потратив на его закупку рidxi, но выиг-
рыша не будет, т. к. получим после переработки продукции ровно на та-
кую же сумму, сколько затратили. Соответственно, оптимальная точка,
даваемая соотношением (2.1), является точкой равновесия – уже невоз-
можно выжать из товаров-ресурсов больше, чем затрачено на их покупку.
      Очевидно, наращивание выпуска фирмы происходило постепенно:
сначала стоимость предельных продуктов была меньше покупной цены
потребных для их производства товаров-ресурсов. Наращивание объемов
производства идет до тех пор, пока не начнет выполняться соотношение
(2.1): равенство стоимости предельных продуктов и покупной цены, по-
требных для их производства товаров-ресурсов.
      Предположим, что в задаче фирмы W(X) = vf(X) – PX → max, X ≥ 0,
решение Х* единственное для v > 0 и Р > 0. Таким образом, получается век-
тор-функция X* = X*(v, P), или функции x*I = x*i(v, p1, pm) для i = 1, …, m. Эти
m функций называются функциями спроса на ресурсы при данных ценах
на продукцию и ресурсы. Содержательно эти функции означают, что,
если сложились цены Р на ресурсы и цена v на выпускаемый товар,
данный производитель (характеризующийся данной производственной
функцией) определяет объем перерабатываемых ресурсов по функциям
x*I = x*i(v, p1, pm) и спрашивает эти объемы на рынке. Зная объемы пере-
рабатываемых ресурсов и подставляя их в производственную функ-
цию, получим выпуск как функцию цен; обозначим эту функцию че-
рез q* = q*(v,P) = f(X(v,P)) = Y*. Она называется функцией предложения
продукции в зависимости от цены v на продукцию и цен Р на ресурсы.
      По определению, ресурс i-го вида называется малоценным, если и
только если, ∂x*i/∂v < 0, т. е. при повышении цены на продукцию спрос на
малоценный ресурс уменьшается. Удается доказать важное соотношение:

                                      18