Экономико-математические модели управления производством (теоретические аспекты). Ломкова Е.Н - 23 стр.

    2. Для выпуска j-ой отраслью продукции объема хj надо ресурсов в
количестве x i ∑ a i, j . Это требование означает, что каждая отрасль спо-
                i
собна произвести любой объем своей продукции, при условии, что ей бу-
дут обеспечены ресурсы в необходимом количестве. На самом деле это
не так, ибо производственные возможности каждой отрасли ограничены
имеющимся объемом трудовых ресурсов и основных фондов.
     Пусть Х = {xi} – вектор объемов производства в отраслях, тогда А.Х
– потребляемые объемы продукции этих отраслей, таким образом, вне
производственной сферы – на потребление остается только Х – А.Х. На-
зовем экономику высокоэффективной, если А.Х ≤ С, т. е. в производст-
венной сфере тратится меньше, чем в сфере потребления.
                  3.2. Продуктивность модели Леонтьева
     Пусть потребность непроизводственной сферы выражается вектором
спроса, т. е. вектором С, вектор выпуска – вектором Х, структурная матри-
ца экономики, т. е. матрица, элементами которой являются коэффициенты
прямых затрат, – матрицей А, то соотношение баланса в матричной форме
будет иметь вид: С = Х – А.Х или С = (Е – А).Х, где Е – единичная матрица.
     Одна из основных задач межотраслевого баланса – найти при задан-
ной структурной матрице экономической системы в условиях баланса со-
вокупный выпуск, необходимый для удовлетворения заданного спроса.
То есть необходимо найти вектор производства, удовлетворяющий урав-
нению баланса, при этом, учитывая экономическую интерпретацию, этот
вектор производства должен быть неотрицательным. Поэтому говорят,
что модель Леонтьева продуктивна, если уравнение X – AX = C имеет
неотрицательное решение для любого С ≥ 0, т. е. матрица А позволяет
произвести любой неотрицательный вектор потребления.
     Теорема. Модель Леонтьева с матрицей А продуктивна, если и толь-
ко если существует неотрицательная матрица, обратная к Е – А.
     В самом деле, пусть Е – A имеет обратную матрицу и эта матрица
(Е – А)-1 неотрицательна, тогда Х = (Е – А)-1С и, поскольку С ≥ 0, то и Х ≥ 0.
     Рассмотрим еще один критерий продуктивности. Пусть модель Ле-
онтьева задана матрицей размерами n×n. Обозначим через N множество
{1, …, n}. Пусть S⊆N (S – подмножество N). Говорят, что подмножество
S изолировано, если aij = 0, всякий раз, когда j∈S, i∈N\S (N без S, т. е. N-S).
Понятие изолированности подмножества S допускает прозрачную эконо-
мическую интерпретацию: отрасли, номера которых принадлежат S, не
используют товары, производимые в отраслях с номерами, не принадле-
жащими S.
     Матрица называется неразложимой, если в ней нет изолированных

                                      23