Экономико-математические модели управления производством (теоретические аспекты). Ломкова Е.Н - 24 стр.

подмножеств, кроме S = N или S = Ø (пустое множество). Понятие нераз-
ложимости также имеет прозрачный экономический смысл: любая от-
расль использует, хотя бы косвенно, продукцию всех отраслей. Ведь если
aij ≠ 0, то j-я отрасль непосредственно использует продукцию i-й отрасли.
Но если даже aij = 0, т. е. j-я отрасль не использует продукцию i-й отрасли
непосредственно, все равно при неразложимой матрице от данной отрас-
ли до любой другой можно найти цепочку отраслей, использующих про-
дукцию друг друга.
      Для неразложимых матриц условие продуктивности выглядит так:
если сумма элементов каждой строки не больше единицы и хотя бы для
одной строки строго меньше единицы, то модель Леонтьева с этой мат-
рицей продуктивна.
      Для продуктивности действительно есть основания: продукции каж-
дой отрасли хватает для нужд самого производства, более того, есть от-
расль, продукция которой даже остается на потребление, а неразложи-
мость, т. е. взаимосвязанность всех отраслей, позволяет надеяться на то,
что этот остаток может преобразоваться в остатки на потребление и про-
дукции других отраслей.
      Для матрицы А число λ называется собственным числом, если най-
дется ненулевой вектор Y, такой, что AY = λY. Такой вектор также назы-
вается собственным вектором, отвечающим данному собственному числу
λ (вектор Y не определяется по λ однозначно – всякий вектор, ему про-
порциональный, также будет собственным вектором, отвечающим этому
же собственному числу λ).
      Модель Леонтьева с матрицей А продуктивна, если и только если
матрица имеет собственное число λА<1, которое к тому же является наи-
большим по модулю из всех собственных чисел матрицы.
          3.3. Прямые и полные затраты в модели Леонтьева
     Напомним, что модель задается матрицей А прямых затрат. В этой
матрице aij – количество единиц продукции, расходуемой на изготовле-
ние, производство одной единицы продукции j-й отрасли. Числа aij назы-
ваются коэффициентами прямых затрат j-й отрасли и характеризуют тех-
нологию этой отрасли. Пусть Х = (xj) обозначает вектор валового произ-
водства, тогда АХ есть израсходованные в процессе производства ресур-
сы и для непроизводственной сферы остается С = Х – АХ.
     Обозначим D = (E – A)-1. Запишем выражение компонент вектора Х
через компоненты вектора конечного спроса С:




                                    24