Экономико-математические модели управления производством (теоретические аспекты). Ломкова Е.Н - 54 стр.

     При составлении динамической модели выбора оптимальной страте-
гии обновления оборудования процесс замены рассматривается как n-
шаговый, т. е. период эксплуатации разбивается на n шагов.
     Выберем в качестве шага оптимизацию плана замены оборудования
с k-го по n-ый годы. Очевидно, что доход от эксплуатации оборудования
за эти годы будет зависеть от возраста оборудования к началу рассматри-
ваемого шага, т. е. k-го года.
     Поскольку процесс оптимизации ведется с последнего шага (k = n), то
на k-ом шаге неизвестно, в какие годы с первого по (k-1)-й должна осущест-
вляться замена и, соответственно, неизвестен возраст оборудования к началу
k-го года. Возраст оборудования, который определяет состояние системы,
обозначим t. На величину t накладывается следующее ограничение:
                           1 ≤ t ≤ t0 + k – 1                         (6.5)
     Выражение 6.5 свидетельствует о том, что t не может превышать
возраст оборудования за (k–1)-й год его эксплуатации с учетом возраста к
началу первого года, который составляет t0 лет; и не может быть меньше
единицы (этот возраст оборудование будет иметь к началу k-го года, если
замена его произошла в начале предыдущего (k–1)-го года).
     Таким образом, переменная t в данной задаче является переменной
состояния системы на k-ом шаге. Переменной управления на k-ом шаге
является логическая переменная, которая может принимать одно из двух
значений: сохранить (С) или заменить (З) оборудование в начале k-го года:
                            ⎧С, если оборудование сохраняется
                  x k (t) = ⎨
                            ⎩З, если оборудование заменяется
     Функцию Беллмана Fk(t) определяют как максимально возможный
доход от эксплуатации оборудования за годы с k-го по n-ый, если к нача-
лу k-го возраст оборудования составлял t лет. Применяя то или иное
управление, система переходит в новое состояние. Так, например, если в
начале k-го года оборудование сохраняется, то к началу (k + 1)-го года
его возраст увеличится на единицу (состояние системы станет t + 1), в
случае замены старого оборудования новое достигнет к началу (k + 1)-го
года возраста t = 1 год.
     На этой основе можно записать уравнение, которое позволяет рекур-
рентно вычислить функции Беллмана, опираясь на результаты предыдущего
шага. Для каждого варианта управления доход определяется как сумма двух
слагаемых: непосредственного результата управления и его последствий.
     Если в начале каждого года сохраняется оборудование, возраст ко-
торого t лет, то доход за этот год составит r(t). К началу (k + 1)-го года
возраст оборудования достигнет (t + 1) и максимально возможный доход
за оставшиеся годы (с (k + 1)-го по n-й) составит Fk+1(t + 1). Если в начале
k-го года принято решение о замене оборудования, то продается старое

                                      54