Составители:
Рубрика:
11
f(x) I f(y). w ˆASTNOSTI, ESLI f(x) < 0 I f(y) > 0, TO SU]ESTWUET TAKAQ TOˆKA z ∈ X,
ˆTO f(z) = 0.
10. pUSTX A I B – ZAMKNUTYE MNOVESTWA TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA. dOKAZATX,
ˆTO ESLI A ∩ B I A ∪ B – SWQZNYE MNOVESTWA, TO A I B – TAKVE SWQZNYE MNOVESTWA.
11. rASSMOTRIM PODPROSTRANSTWO PLOSKOSTI R
2
, QWLQ@]EESQ OB˙EDINENIEM MNO-
VESTWA PRQMYH, PROHODQ]IH ˆEREZ NAˆALO KOORDINAT, UGLOWYE KO“FFICIENTY KOTORYH
PROBEGA@T WSE RACIONALXNYE ˆISLA. pOKAZATX, ˆTO “TO PODPROSTRANSTWO SWQZNO, NO NE
LOKALXNO SWQZNO.
12. pOKAZATX, ˆTO OGRANIˆENNYJ ZAMKNUTYJ INTERWAL ˆISLOWOJ PRQMOJ NE GOMEO-
MORFEN OKRUVNOSTI.
8. pROIZWEDENIE TOPOLOGIˆESKIH PROSTRANSTW. fAKTORPROSTRANSTWO
TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA
pROIZWEDENIEM TOPOLOGIˆESKIH PROSTRANSTW (X, O
X
) I (Y, O
Y
) NAZYWAETSQ MNO-
VESTWO X ×Y S TOPOLOGIEJ, BAZOJ KOTOROJ SLUVIT MNOVESTWO PODMNOVESTW WIDA U × V ,
GDE U ∈ O
X
I V ∈ O
Y
.
pROEKCIQMI PROIZWEDENIQ X × Y TOPOLOGIˆESKIH PROSTRANSTW X I Y NAZYWA@TSQ
OTOBRAVENIQ p
1
: X × Y → X I p
2
: X × Y → Y , OPREDELENNYE USLOWIQMI p
1
((x, y)) = x
I p
2
((x, y)) = y (x ∈ X, y ∈ Y ).
tEOREMA 15. tOPOLOGIQ PROIZWEDENIQ X × Y TOPOLOGIˆESKIH PROSTRANSTW X I
Y QWLQETSQ SAMOJ SLABOJ IZ WSEH TOPOLOGIJ NA X × Y , DLQ KOTORYH PROEKCII p
1
I p
2
NEPRERYWNY.
tEOREMA 16. pROIZWEDENIE X × Y TOPOLOGIˆESKIH PROSTRANSTW X I Y KOM-
PAKTNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA EGO SOMNOVITELI X I Y KOMPAKTNY.
tEOREMA 17. pROIZWEDENIE X × Y TOPOLOGIˆESKIH PROSTRANSTW X I Y SWQZNO
TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA EGO SOMNOVITELI X I Y SWQZNY.
pUSTX X – MNOVESTWO I – OTNO[ENIE “KWIWALENTNOSTI NA X. mNOVESTWO KLASSOW
OTNO[ENIQ NAZYWAETSQ FAKTORMNOVESTWOM I OBOZNAˆAETSQ ˆEREZ X/. oTOBRAVENIE
p : X → X/, KOTOROE KAVDOJ TOˆKE X STAWIT W SOOTWETSTWIE SODERVA]IJ EE KLASS,
NAZYWAETSQ PROEKCIEJ.
pUSTX X – TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO. fAKTORPROSTRANSTWOM X PO OTNO[E-
NI@ “KWIWALENTNOSTI NA X NAZYWAETSQ FAKTORMNOVESTWO X/, SNABVENNOE SAMOJ
SILXNOJ IZ WSEH TOPOLOGIJ, DLQ KOTORYH PROEKCIQ p : X → X/ – NEPRERYWNOE OTO-
BRAVENIE.
tEOREMA 18. pODMNOVESTWO FAKTORPROSTRANSTWA X/ TOPOLOGIˆESKOGO PRO-
STRANSTWA X QWLQETSQ OTKRYTYM (ZAMKNUTYM) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA EGO
PROOBRAZ OTNOSITELXNO PROEKCII p – OTKRYTOE (ZAMKNUTOE) MNOVESTWO PROSTRAN-
STWA X.
tEOREMA 19. pUSTX X I Y – TOPOLOGIˆESKIE PROSTRANSTWA I – OTNO[ENIE
“KWIWALENTNOSTI NA X. oTOBRAVENIE f : X/ → Y NEPRERYWNO TOGDA I TOLXKO
TOGDA, KOGDA OTOBRAVENIE – NEPRERYWNO. f ◦ p : X → Y NEPRERYWNO.
zADAˆI
1. pUSTX B
i
– BAZA TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA X
i
(i = 1, 2). dOKAZATX, ˆTO
MNOVESTWO PODMNOVESTW WIDA U
1
× U
2
, GDE U
1
∈ B
1
I U
2
∈ B
2
, QWLQETSQ BAZOJ TOPOLO-
GIˆESKOGO PROSTRANSTWA X
1
× X
2
.
