Сборник задач по топологии. Лосик М.В. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

9
2. pOKAZATX, ˆTO PROSTRANSTWO S DISKRETNOJ TOPOLOGIEJ HAUSDORFOWO, A PROSTRAN-
STWO S ANTIDISKRETNOJ TOPOLOGIEJ NEHAUSDORFOWO, ESLI ONO SODERVIT BOLEE ODNOJ TOˆ-
KI.
3. pOKAZATX, ˆTO W HAUSDORFOWOM PROSTRANSTWE TOPOLOGIQ, INDUCIROWANNAQ NA L@-
BOM KONEˆNOM PODMNOVESTWE, DISKRETNA.
4. pOKAZATX, ˆTO TOPOLOGIQ BOLEE SILXNAQ, ˆEM HAUSDORFOWA, TAKVE HAUSDORFOWA.
5. uKAZATX WSE SHODQ]IESQ POSLEDOWATELXNOSTI W PROSTRANSTWE S DISKRETNOJ I
ANTIDISKRETNOJ TOPOLOGIEJ.
6. pOKAZATX, ˆTO W HAUSDORFOWOM PROSTRANSTWE PREDEL SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELX-
NOSTI OPREDELEN ODNOZNAˆNO.
7. dOKAZATX, ˆTO AKSIOMA hAUSDORFA “KWIWALENTNA SLEDU@]EMU UTWERVDENI@: PE-
RESEˆENIE WSEH ZAMKNUTYH OKRESTNOSTEJ L@BOJ TOˆKI x ESTX {x}.
8. pOKAZATX, ˆTO ESLI DLQ L@BOJ PARY x I y RAZLIˆNYH TOˆEK TOPOLOGIˆESKOGO
PROSTRANSTWA X SU]ESTWUET TAKOE NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE f : X → Y , ˆTO f(x) 6=
f(y), TO PROSTRANSTWO X – HAUSDORFOWO.
9. pUSTX f I g – NEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA X W
HAUSDORFOWO TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO Y . pOKAZATX, ˆTO MNOVESTWO TOˆEK x ∈ X
TAKIH, ˆTO f(x) = g(x), ZAMKNUTO.
10. pUSTX f
1
, f
2
: X → Y – NEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRAN-
STWA X W HAUSDORFOWO TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO Y . pOKAZATX, ˆTO ESLI f
1
I f
2
SOWPADA@T NA NEKOTOROM WS@DU PLOTNOM PODMNOVESTWE A PROSTRANSTWA X (T.E.
¯
A = X),
TO ONI SOWPADA@T NA WSEM X.
11. dOKAZATX, ˆTO DISKRETNAQ TOPOLOGIQ NA MNOVESTWE X KOMPAKTNA TOGDA I TOLXKO
TOGDA, KOGDA X – KONEˆNOE MNOVESTWO.
12. dOKAZATX, ˆTO WSQKOE TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO, SODERVA]EE TOLXKO KONEˆ-
NOE MNOVESTWO TOˆEK, UDOWLETWORQET AKSIOME bORELQ-lEBEGA, NO NE OBQZATELXNO HAUS-
DORFOWO.
13. pUSTX X – BESKONEˆNOE MNOVESTWO, NADELIM EGO TOPOLOGIEJ, W KOTOROJ ZAMKNU-
TYMI MNOVESTWAMI QWLQ@TSQ TOLXKO X I EGO KONEˆNYE PODMNOVESTWA. dOKAZATX, ˆTO
TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO X UDOWLETWORQET AKSIOME bORELQ-lEBEGA, NO NE HAUSDOR-
FOWO.
14. pOKAZATX, ˆTO TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO, SODERVA]EE BOLEE DWUH TOˆEK, S
ANTIDISKRETNOJ TOPOLOGIEJ UDOWLETWORQET AKSIOME bORELQ-lEBEGA, NO NE HAUSDORFOWO.
pOKAZATX, ˆTO W “TOM PROSTRANSTWE SU]ESTWU@T TAKIE KOMPAKTNYE MNOVESTWA, KOTORYE
NE ZAMKNUTY.
15. dOKAZATX, ˆTO HAUSDORFOWO TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO KOMPAKTNO TOGDA I
TOLXKO TOGDA, KOGDA L@BOE CENTRIROWANNOE SEMEJSTWO EGO PODMNOVESTW IMEET OB]U@
TOˆKU PRIKOSNOWENIQ.
16. pRIWESTI PRIMERY KOMPAKTNYH I NEKOMPAKTNYH MNOVESTW PROSTRANSTWA R
n
PRI n = 1, 2, 3.
17. pOKAZATX, ˆTO ZAMKNUTYJ [AR PROSTRANSTWA R
n
NE GOMEOMORF EN NIKAKOMU OT-
KRYTOMU [ARU “TOGO PROSTRANSTWA.
18. pOKAZATX, ˆTO BESKONEˆNOE MNOVESTWO S DISKRETNOJ TOPOLOGIEJ NE KOMPAKTNO,
NO LOKALXNO KOMPAKTNO.
19. pUSTX X – KOMPAKTNOE TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO, x ∈ X I F – ZAMKNUTOE
MNOVESTWO W X, NE SODERVA]EE x. dOKAZATX, ˆTO SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX TOˆKI
x I TAKOE OTKRYTOE MNOVESTWO, SODERVA]EE F , KOTORYE NE PERESEKA@TSQ.

Страницы