Сборник задач по топологии. Лосик М.В. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

8
9. pUSTX A I B – PODMNOVESTWA TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA X. pOKAZATX, ˆTO
PERESEˆENIE ZAMYKANIQ B W PROSTRANSTWE X S A SODERVIT ZAMYKANIE A ∩ B W PODPRO-
STRANSTWE A.
10. pUSTX X – TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO, A ⊂ X I B ⊂ A. pOKAZATX, ˆTO
ZAMYKANIE B W PODPROSTRANSTWE A SOWPADAET S
¯
B ∩ A, GDE
¯
B – ZAMYKANIE B W X.
11. pUSTX X – TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO, A ⊂ X – PODPROSTRANSTWO I i : A → X
– WLOVENIE, T.E. DLQ L@BOGO x ∈ X i(x) = x ∈ X. pOKAZATX, ˆTO IN DUCIROWANNAQ TOPO-
LOGIQ NA PODMNOVESTWE A TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA X QWLQETSQ SAMOJ SLABOJ IZ
WSEH TOPOLOGIJ, DLQ KOTORYH WLOVENIE i NEPRERYWNO. wYWESTI OTS@DA, ˆTO OGRANIˆENIE
f|
A
: A → Y NEPRERYWNOGO OTOBRAVENIQ f : X → Y PROSTRANSTWA X W TOPOLOGIˆESKOE
PROSTRANSTWO Y NA PODPROSTRANSTWO A NEPRERYWNO.
12. pUSTX X I Y – TOPOLOGIˆESKIE PROSTRANSTWA, B ⊂ Y , I f : X → Y – TA-
KOE NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE, ˆTO f(X) ⊂ B. pOKAZATX, ˆTO f KAK OTOBRAVENIE X W
PODPROSTRANSTWO B TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA Y NEPRERYWNO.
6. hAUSDORFOWOSTX. kOMPAKTNOSTX
tOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ HAUSDORFOWYM, ESLI ONO UDOWLETWORQET
SLEDU@]EJ AKSIOME hAUSDORFA: L@BYE DWE RAZLIˆNYE TOˆKI PROSTRANSTWA IME@T NEPE-
RESEKA@]IESQ OKRESTNOSTI.
tEOREMA 9. pODPROSTRANSTWO HAUSDORFOWA PROSTRANSTWA QWLQETSQ HAUSDORFO-
WYM PROSTRANSTWOM. mETRIˆESKOE PROSTRANSTWO QWLQETSQ HAUSDORFOWYM PROSTRAN-
STWOM.
hAUSDORFOWO PROSTRANSTWO X NAZYWAETSQ KOMPAKTNYM, ESLI ONO UDOWLETWORQET
SLEDU@]EJ AKSIOME bORELQ-lEBEGA: L@BOE POKRYTIE PROSTRANSTWA X OTKRYTYMI MNO-
VESTWAMI SODERVIT KONEˆNOE PODPOKRYTIE.
pODMNOVESTWO TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA NAZYWAETSQ KOMPAKTNYM MNOVE-
STWOM, ESLI ONO KOMPAKTNO KAK PODPROSTRANSTWO.
tEOREMA 10. pUSTX X I Y – HAUSDORFOWY PROSTRANSTWA I f : X → Y – NEPRE-
RYWNOE OTOBRAVENIE. oBRAZ L@BOGO KOMPAKTNOGO MNOVESTWA PROSTRANSTWA X OT-
NOSITELXNO f QWLQETSQ KOMPAKTNYM MNOVESTWOM PROSTRANSTWA Y .
mNOVESTWO PODMNOVESTW MNOVESTWA X NAZYWAETSQ CENTRIROWANNYM, ESLI PERESE-
ˆENIE L@BOGO EGO KONEˆNOGO PODMNOVESTWA NEPUSTO.
tEOREMA 11. aKSIOMA bORELQ-lEBEGA “KWIWALENTNA SLEDU@]EJ AKSIOME: PERESE-
ˆENIE L@BOGO CENTRIROWANNOGO SEMEJSTWA ZAMKNUTYH MNOVESTW NEPUSTO.
tEOREMA 12. pODPROSTRANSTWO PROSTRANSTWA R
n
QWLQETSQ KOMPAKTNYM TOGDA
I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONO OGRANIˆENO I ZAMKNUTO W R
n
.
hAUSDORFOWO PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ LOKALXNO KOMPAKTNYM, ESLI L@BAQ EGO TOˆ-
KA IMEET KOMPAKTNU@ OKRESTNOSTX.
zADAˆI
1. dOKAZATX, ˆTO W TOPOLOGIˆESKOM PROSTRANSTWE X WSE ODNO“LEMENTNYE PODMNO-
VESTWA ZAMKNUTY TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA U L@BOJ IZ DWUH RAZLIˆNYH TOˆEK PRO-
STRANSTWA X SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX, KOTORAQ NE SODERVIT DRUGU@ TOˆKU.

Страницы