Составители:
Рубрика:
13
19. pUSTX X
1
I X
2
– TOPOLOGIˆESKIE PROSTRANSTWA, f : X
1
→ X
2
– NEPRERYWNOE
OTOBRAVENIE I
i
– OTNO[ENIE “KWIWALENTNOSTI NA X
i
(i = 1, 2). pREDPOLOVIM, ˆTO
OTNO[ENIQ
1
I
2
SOGLASOWANY S f, T.E. ESLI x, y ∈ X
1
I (x, y) ∈
1
, TO (f(x), f(y)) ∈
2
.
pOKAZATX, ˆTO SU]ESTWUET EDINSTWENNOE NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE
˜
f : X
1
/
1
→ X
2
/
2
TAKOE, ˆTO
˜
f ◦ p
1
= p
2
◦ f, GDE p
i
: X
i
→ X
i
/
i
– PROEKCII.
20. pUSTX X – PODPROSTRANSTWO PROSTRANSTWA R
n
, POLUˆENNOE IZ R
n
WYBRASYWA-
NIEM TOˆKI 0, I – OTNO[ENIE “KWIWALENTNOSTI NA X, KLASSAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ
LUˆI PROSTRANSTWA R
n
S NAˆALOM W TOˆKE 0. pOKAZATX, ˆTO FAKTORPROSTRANSTWO X/
GOMEOMORFNO n-MERNOJ SFERE S
n−1
. wYWESTI OTS@DA SWQZNOSTX SFERY S
n−1
.
21. pUSTX – OTNO[ENIE “KWIWALENTNOSTI NA ˆISLOWOJ PRQMOJ R, ZADANNOE SLEDU-
@]IM USLOWIEM :
(x, y) ∈ ⇐⇒ x − y ∈ N,
GDE N – MNOVESTWO CELYH ˆISEL I x, y ∈ R. pOKAZATX, ˆTO FAKTORPROSTRANSTWO R/
GOMEOMORFNO EDINIˆNOJ OKRUVNOSTI S
1
KAK PODPROSTRANSTWA PLOSKOSTI R
2
.
9. sEPARABELXNOSTX I POLNOTA METRIˆESKIH PROSTRANSTW
mETRIˆESKOE PROSTRANSTWO M NAZYWAETSQ SEPARABELXNYM, ESLI ONO SODERVIT SˆET-
NOE WS@DU PLOTNOE PODMNOVESTWO A.
pOSLEDOWATELXNOSTX {x
n
} TOˆEK METRIˆESKOGO PROSTRANSTWA NAZYWETSQ POSLEDOWA-
TELXNOSTX@ kO[I, ESLI DLQ L@BOGO > 0 SU]ESTWUET TAKOJ NOMER N, ˆTO DLQ L@BYH
m, n > N ρ(x
m
, x
n
) < . mETRIˆESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ POLNYM, ESLI L@BAQ EGO
POSLEDOWATELXNOSTX kO[I SHODITSQ.
mETRIˆESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ WPOLNE OGRANIˆENNYM, ESLI DLQ L@BOGO >
0 ONO POKRYWAETSQ KONEˆNYM ˆISLOM OTKRYTYH [AROW RADIUSA .
zADAˆI
1. pOKAZATX, ˆTO PROSTRANSTWO R
n
SEPARABELXNO.
2. pOKAZATX, ˆTO METRIˆESKOE PROSTRANSTWO l
2
UPRAVNENIQ 14 RAZDELA 2 SEPARA-
BELXNO.
3. pOKAZATX, ˆTO METRIˆESKOE PROSTRANSTWO, TOPOLOGIQ KOTOROGO DISKRETNA, – POL-
NOE PROSTRANSTWO.
4. dOKAZATX, ˆTO METRIˆESKOE PROSTRANSTWO POLNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA
L@BAQ UBYWA@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX WLOVENNYH DRUG W DRUGA ZAMKNUTYH [AROW, RA-
DIUSY KOTORYH STREMQTSQ K NUL@, IMEET NEPUSTOE PERESEˆENIE.
5. pUSTX M – POLNOE METRIˆESKOE PROSTRANSTWO I x TAKAQ TOˆKA M, ˆTO x ∈
M \ {x}. pOKAZATX, ˆTO METRIˆESKOE PROSTRANSTWO M \ {x} S INDUCIROWANNOJ METRIKOJ
NEPOLNO.
6. pOKAZATX, ˆTO PODPROSTRANSTWO WPOLNE OGRANIˆENNOGO METRIˆESKOGO PROSTRAN-
STWA WPOLNE OGRANIˆENO.
7. pOKAZATX, ˆTO METRIˆESKOE PROSTRANSTWO l
2
UPRAVNENIQ 14 RAZDELA 2 POLNO.
