Составители:
Рубрика:
12
2. pOKAZATX, ˆTO PROIZWEDENIQ X × Y I Y × X TOPOLOGIˆESKIH PROSTRANSTW X I Y
GOMEOMORFNY.
3. pUSTX X I Y – TOPOLOGIˆESKIE PROSTRANSTWA, A ⊂ X I B ⊂ Y . pOKAZATX, ˆTO
TOPOLOGIQ, INDUCIROWANNAQ NA A × B, SOWPADAET S TOPOLOGIEJ PROIZWEDENIQ PODPRO-
STRANSTW A I B.
4. pUSTX F
i
– ZAMKNUTOE MNOVESTWO TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA X
i
(i = 1, 2).
pOKAZATX, ˆTO F
1
× F
2
– ZAMKNUTOE MNOVESTWO TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA X
1
× X
2
.
5. pOKAZATX, ˆTO TOPOLOGIQ PROIZWEDENIQ TOPOLOGIˆESKIH PROSTRANSTW S DISKRET-
NOJ (ANTIDISKRETNOJ) TOPOLOGIEJ DISKRETNA (ANTIDISKRETNA).
6. pOKAZATX, ˆTO TOPOLOGIQ PROSTRANSTWA R
n
KAK PROIZWEDENIQ SOWPADAET S EGO
TOPOLOGIEJ KAK METRIˆESKOGO PROSTRANSTWA.
7. pUSTX X I Y – TOPOLOGIˆESKIE POSTRANSTWA, A ⊂ X I B ⊂ Y . pOKAZATX, ˆTO
WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE RAWENSTWA: (A × B)
o
= A
o
× B
o
I A × B = A × B.
8. pUSTX X I Y – TOPOLOGIˆESKIE PROSTRANSTWA, A ⊂ X × Y I a ∈ X. sREZOM
PODMNOVESTWA A PO “LEMENTU a NAZYWAETSQ MNOVESTWO TAKIH TOˆEK y ∈ Y , ˆTO (a, y) ∈ A.
dOKAZATX, ˆTO SREZ OTKRYTOGO (ZAMKNUTOGO) MNOVESTWA PROIZWEDENIQ X × Y – OTKRYTOE
(ZAMKNUTOE) MNOVESTWO.
9. dOKAZATX, ˆTO PROEKCII PROIZWEDENIQ X × Y TOPOLOGIˆESKIH PROSTRANSTW X I
Y NA SOMNOVITELI – OTKRYTYE OTOBRAVENIQ, T.E. PROEKCII OTKRYTYH MNOVESTW X × Y
– OTKRYTYE MNOVESTWA SOOTWETSTWU@]IH SOMNOVITELEJ.
10. pUSTX X – TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO I ∆ – PODMNOVESTWO X × X, OBRA-
ZOWANNOE TOˆKAMI WIDA (x, x), GDE x ∈ X. dOKAZATX, ˆTO PROSTRANSTWO X HAUSDORFOWO
TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ∆ – ZAMKNUTOE MNOVESTWO W X × Y .
11. pUSTX X
1
, X
2
I Y – TOPOLOGIˆESKIE PROSTRANSTWA, f : X
1
× X
2
→ Y – NEPRE-
RYWNOE OTOBRAVENIE I a ∈ X
1
. pOKAZATX, ˆTO OTOBRAVENIE f
a
: X
2
→ Y , OPREDELENNOE
RAWENSTWOM f
a
(x) = f(a, x) (x ∈ X
2
), NEPRERYWNO.
12. pUSTX X I Y – TOPOLOGIˆESKIE PROSTRANSTWA I f : X → Y – NEPRERYWNOE
OTOBRAVENIE. gRAFIKOM f NAZYWAETSQ PODMNOVESTWO Γ(f) PROIZWEDENIQ X × Y , OBRAZO-
WANNOE TOˆKAMI WIDA (x, f(x)), GDE x ∈ X. dOKAZATX, ˆTO Γ(f) – ZAMKNUTOE MNOVESTWO
PROSTRANSTWA X × Y , ESLI Y – HAUSDORFOWO PROSTRANSTWO.
13. pUSTX X I Y – TOPOLOGIˆESKIE PROSTRANSTWA, x ∈ X I y ∈ Y . dOKAZATX,
ˆTO MNOVESTWO PODMNOVESTW X × Y WIDA A × B, GDE A – OKRESTNOSTX TOˆKI x I B –
OKRESTNOSTX TOˆKI y, QWLQETSQ FUNDAMENTALXNOJ SISTEMOJ OKRESTNOSTEJ TOˆKI (x, y) ∈
X × Y .
14. pOKAZATX, ˆTO PROIZWEDENIE LOKALXNO KOMPAKTNYH PROSTRANSTW LOKALXNO KOM-
PAKTNO.
15. pOKAZATX, ˆTO PROIZWEDENIE LOKALXNO SWQZNYH PROSTRANSTW LOKALXNO SWQZNO.
16. pOKAZATX, ˆTO TOPOLOGIQ FAKTORPROSTRANSTWA TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA S
DISKRETNOJ (ANTIDISKRETNOJ) TOPOLOGIEJ DISKRETNA (ANTIDISKRETNA).
17. pUSTX X I Y – TOPOLOGIˆESKIE PROSTRANSTWA, f : X → Y – NEPRERYWNOE OTOBRA-
VENIE I
f
– OTNO[ENIE “KWIWALENTNOSTI NA X, KLASSAMI KOTOROGO SLUVAT PROOBRAZY
f
−1
(y) TOˆEK y ∈ Y . pOKAZATX, ˆTO SU]ESTWUET EDINSTWENNOE NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE
˜
f : X/
f
→ Y TAKOE, ˆTO
˜
f ◦ p = f.
18. pUSTX f – PROEKCIQ PROIZWEDENIQ X × Y TOPOLOGIˆESKIH PROSTRANSTW X I Y
NA i-YJ (i=1,2) SOMNOVITELX. tOGDA OTOBRAVENIE
˜
f, OPREDELENNOE W ZADAˆE 17, GOMEO-
MORFIZM.
