Составители:
Рубрика:
10
20. pUSTX X – KOMPAKTNOE TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO, F
1
I F
2
– NEPERESEKA@]I-
ESQ ZAMKNUTYE MNOVESTWA W X. dOKAZATX, ˆTO SU]ESTWU@T TAKIE OTKRYTYE MNOVESTWA,
SODERVA]IE F
1
I F
2
, KOTORYE NE PERESEKA@TSQ.
21. pUSTX f – NEPRERYWNOE BIEKTIWNOE OTOBRAVENIE KOMPAKTNOGO TOPOLOGIˆESKOGO
PROSTRANSTWA W HAUSDORFOWO TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO. pOKAZATX, ˆTO f – GOMEO-
MORFIZM.
22. pUSTX X – KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO I f : X → R – NEPRERYWNOE OTOBRAVE-
NIE. pOKAZATX, ˆTO OTOBRAVENIE f OGRANIˆENO I DOSTIGAET NA X SWOEGO NAIMENX[EGO I
NAIBOLX[EGO ZNAˆENIJ.
23. pOKAZATX, ˆTO PROSTRANSTWO R
n
LOKALXNO KOMPAKTNO.
7. sWQZNOSTX
tOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ SWQZNYM, ESLI EGO NELXZQ PREDSTAWITX W
WIDE OB˙EDINENIQ DWUH NEPUSTYH NEPERESEKA@]IHSQ OTKRYTYH MNOVESTW. pODMNOVE-
STWO TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA NAZYWAETSQ SWQZNYM MNOVESTWOM, ESLI ONO SWQZNO
KAK PODPROSTRANSTWO.
tEOREMA 13. zAMYKANIE SWQZNOGO MNOVESTWA – SWQZNOE MNOVESTWO. oB˙EDI-
NENIE MNOVESTWA SWQZNYH MNOVESTW TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA, PERESEˆENIE
KOTOROGO NEPUSTO, QWLQETSQ SWQZNYM MNOVESTWOM.
tEOREMA 14. pODMNOVESTWO ˆISLOWOJ PRQMOJ R QWLQETSQ SWQZNYM MNOVESTWOM
TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONO LIBO ODNOTOˆEˆNO, LIBO QWLQETSQ OTKRYTYM (OGRA-
NIˆENNYM ILI NEOGRANIˆENNYM) INTERWALOM, LIBO POLUˆAETSQ IZ OTKRYTOGO INTER-
WALA PRISOEDINENIEM ODNOGO ILI OBOIH KONCOW (ESLI ONI – DEJSTWITELXNYE ˆISLA).
tOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ LOKALXNO SWQZNYM, ESLI L@BAQ EGO TOˆKA
IMEET FUNDAMENTALXNU@ SISTEMU SWQZNYH OKRESTNOSTEJ.
zADAˆI
1. pOKAZATX, ˆTO PROSTRANSTWO S ANTIDISKRETNOJ TOPOLOGIEJ WSEGDA SWQZNO, A S
DISKRETNOJ TOPOLOGIEJ SWQZNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONO SODERVIT NE BOLEE ODNOJ
TOˆKI.
2. pRIWESTI PRIMERY TAKIH DWUH SWQZNYH MNOVESTW NA ˆISLOWOJ PRQMOJ I NA
PLOSKOSTI, ˆTO A) IH OB˙EDINENIE NE SWQZNO ; B) IH PERESEˆENIE NE SWQZNO .
3. dOKAZATX, ˆTO TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO X NESWQZNO TOGDA I TOLXKO TOGDA,
KOGDA SU]ESTWUET TAKOE NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE f : X → R, ˆTO f (X) = {0, 1}.
4. pRIWESTI PRIMER NEPRERYWNOGO OTOBRAVENIQ f NESWQZNOGO TOPOLOGIˆESKOGO PRO-
STRANSTWA X W TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO Y , DLQ KOTOROGO f(X) – SWQZNOE MNOVESTWO.
5. pOKAZATX, ˆTO OTKRYTYJ (ZAMKNUTYJ) [AR PROSTRANSTWA R
n
– SWQZNOE MNOVE-
STWO. wYWESTI OTS@DA, ˆTO PROSTRANSTWO R
n
LOKALXNO SWQZNO.
6. pOKAZATX, ˆTO EDINIˆNAQ OKRUVNOSTX NA PLOSKOSTI R
2
SWQZNA KAK PODPROSTRAN-
STWO R
2
.
7. pUSTX {A
n
} (n = 1, 2, . . . ) – POSLEDOWATELXNOSTX SWQZNYH MNOVESTW TOPOLOGI-
ˆESKOGO PROSTRANSTWA, DLQ KOTORYH A
n
∩ A
n+1
6= ∅. dOKAZATX, ˆTO ∪
∞
n=1
A
n
– SWQZNOE
MNOVESTWO.
8. pOKAZATX, ˆTO PODMNOVESTWO MNOVESTWA RACIONALXNYH ˆISEL S OBYˆNOJ TOPOLO-
GIEJ SWQZNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONO ODNOTOˆEˆNO.
9. pUSTX f : X → R – NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NA SWQZNOM TOPOLOGIˆESKOM PROSTRAN-
STWE X. dOKAZATX, ˆTO DLQ L@BYH TOˆEK x, y ∈ X f(X) SODERVIT INTERWAL S KONCAMI
