Сборник задач по топологии. Лосик М.В. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

6
4. nEPRERYWNOSTX. gOMEOMORFIZM
pUSTX X I Y – TOPOLOGIˆESKIE PROSTRANSTWA. oTOBRAVENIE f : X → Y NAZYWAETSQ
NEPRERYWNYM W TOˆKE x ∈ X, ESLI DLQ L@BOJ OKRESTNOSTI B TOˆKI f(x) NAJDETSQ
TAKAQ OKRESTNOSTX A TOˆKI x, TAKAQ ˆTO f(A) ⊂ B. oTOBRAVENIE f : X → Y NAZYWETSQ
NEPRERYWNYM, ESLI ONO NEPRERYWNO W L@BOJ TOˆKE x ∈ X. bIEKTIWNOE OTOBRAVENIE
f : X → Y NAZYWAETSQ GOMEOMORFIZMOM, ESLI OTOBRAVENIQ f I f
−1
NEPRERYWNY.
tEOREMA 6. pUSTX X I Y – TOPOLOGIˆESKIE PROSTRANSTWA. oTOBRAVENIE f :
X → Y QWLQETSQ NEPRERYWNYM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA PROOBRAZ OTNOSITELXNO
f L@BOGO OTKRYTOGO (ZAMKNUTOGO) MNOVESTWA PROSTRANSTWA Y QWLQETSQ OTKRY-
TYM (ZAMKNUTYM) MNOVESTWOM PROSTRANSTWA X.
tEOREMA 7. pUSTX X I Y – TOPOLOGIˆESKIE PROSTRANSTWA. bIEKTIWNOE OTO-
BRAVENIE f : X → Y QWLQETSQ GOMEOMORFIZMOM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA OB-
RAZ OTNOSITELXNO f L@BOGO OTKRYTOGO (ZAMKNUTOGO) MNOVESTWA PROSTRANSTWA X
QWLQETSQ OTKRYTYM (ZAMKNUTYM) MNOVESTWOM PROSTRANSTWA Y I PROOBRAZ OTNO-
SITELXNO f L@BOGO OTKRYTOGO (ZAMKNUTOGO) MNOVESTWA PROSTRANSTWA Y QWLQETSQ
OTKRYTYM (ZAMKNUTYM) MNOVESTWOM PROSTRANSTWA X.
zADAˆI
1. pUSTX f I g – NEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA X W
PROSTRANSTWO R S OBYˆNOJ TOPOLOGIEJ. dOKAZATX, ˆTO OTOBRAVENIQ f + g I kf X W R,
OPREDELENNYE USLOWIQMI: (f +g)(x) = f(x)+g(x) I (kf)(x) = kf(x) (x ∈ X) NEPRERYWNY.
2. pUSTX M – METRIˆESKOE PROSTRANSTWO, A ⊂ M I x ∈ M. rASSMOTRIM RASSTOQNIE
ρ(x, A) = inf
y∈A
ρ(x, y) OT TOˆKI x ∈ M DO A, WWWEDENNOE W ZADAˆE 10 RAZDELA 3. dOKAZATX,
ˆTO OTOBRAVENIE ρ
A
: M → R, OPREDELENNOE USLOWIEM ρ
A
(x) = ρ(x, A), NEPRERYWNO.
3. pUSTX O
1
I O
2
– DWE TOPOLOGII NA MNOVESTWE X. dOKAZATX, ˆTO TOVDESTWENNOE
OTOBRAVENIE X W SEBQ KAK OTOBRAVENIE TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA (X, O
1
) W TOPO-
LOGIˆESKLE PROSTRANSTWO (X, O
2
) NEPRERYWNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA TOPOLOGIQ
O
1
SLABEE TOPOLOGII O
2
.
4. pUSTX X I Y – MNOVESTWA I f : X → Y – PROIZWOLXNOE OTOBRAVENIE. pOKAZATX,
ˆTO f NEPRERYWNO PRI SLEDU@]IH WYBORAH TOPOLOGIJ NA X I Y : A) NA X – DISKRETNAQ
TOPOLOGIQ, NA Y – PROIZWOLXNAQ ; B) NA X – L@BAQ TOPOLOGIQ, NA Y – ANTIDISKRETNAQ.
5. pUSTX f : X → Y – NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA
X W TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO Y . pOKAZATX, ˆTO ONO OSTANETSQ NEPRERYWNYM PRI
ZAMENE TOPOLOGII PROSTRANSTWA X BOLEE SILXNOJ TOPOLOGIEJ, ILI PRI ZAMENE TOPOLOGII
PROSTRANSTWA Y BOLEE SLABOJ TOPOLOGIEJ.
6. pUSTX X I Y – TOPOLOGIˆESKIE PROSTRANSTWA I A – PREDBAZA TOPOLOGII PRO-
STRANSTWA Y . pOKAZATX, ˆTO OTOBRAVENIE f : X → Y NEPRERYWNO, ESLI DLQ L@BOGO
U ∈ A f
−1
(U) – OTKRYTOE MNOVESTWO PROSTRANSTWA X.
7. pUSTX f : X → Y – NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA X
W TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO (Y, O
Y
). pOKAZATX, ˆTO SLEDU@]EE MNOVESTWO PODMNO-
VESTW MNOVESTWA X: O
X
= {f
−1
(U)| U ∈ O
Y
} QWLQETSQ SAMOJ SLABOJ IZ WSEH TOPOLOGIJ
NA X, DLQ KOTORYH f NEPRERYWNO.
8. pOKAZATX, ˆTO WSE OTKRYTYE INTERWALY (OGRANIˆENNYE I NEOGRANIˆENNYE) PRO-
STRANSTWA R GOMEOMORFNY. pOKAZATX, ˆTO OTKRYTYJ INTERWAL NEGOMEOMORFEN NIKAKOMU
OGRANIˆENNOMU ZAMKNUTOMU INTERWALU.

Страницы