Сборник задач по топологии. Лосик М.В. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

4
11. pROWERITX, ˆTO SLEDU@]AQ FUNKCIQ NA R
n
× R
n
:
ρ(x, y) =
n
X
i=1
|x
i
− y
i
|,
GDE x = (x
i
) I y = (y
i
), UDOWLETWORQET AKSIOMAM METRIˆESKOGO PROSTRANSTWA.
12. pUSTX NA MNOVESTWE M ZADANY DWE METRIKI ρ
1
I ρ
2
, UDOWLETWORQ@]IE AKSI-
OMAM METRIˆESKOGO PROSTRANSTWA I SWQZANNYE NERAWENSTWOM ρ
1
(x, y) ≤ kρ
2
(x, y), GDE k
– POLOVITELXNOE DEJSTWITELXNOE ˆISLO. pOKAZATX, ˆTO TOPOLOGIQ PROSTRANSTWA (M, ρ
1
)
SLABEE TOPOLOGII PROSTRANSTWA (M, ρ
2
).
13. iSPOLXZUQ PREDYDU]U@ ZADAˆU, POKAZATX, ˆTO OBYˆNAQ METRIKA PROSTRANSTWA
R
n
I METRIKI ZADAˆ 10 I 11 OPREDELQ@T I TU VE TOPOLOGI@ NA PROSTRANSTWE R
n
.
14. rASSMOTRIM MNOVESTWO l
2
, “LEMENTAMI KOTOROGO SLUVAT POSLEDOWATELXNOSTI
x = {x
n
} DEJSTWITELXNYH ˆISEL, UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@
P
∞
n=1
x
2
n
< ∞. pOKAZATX,
ˆTO METRIKA NA l
2
, ZADANNAQ RAWENSTWOM
ρ(x, y) =
v
u
u
t
∞
X
n=1
(x
n
− y
n
)
2
,
UDOWLETWORQET AKSIOMAM METRIˆESKOGO PROSTRANSTWA.
15. pUSTX M – METRIˆESKOE PROSTRANSTWO S METRIKOJ ρ. dLQ L@BYH DWUH TOˆEK
x, y ∈ M POLOVIM ρ
∗
(x, y) = min{1, ρ(x, y)}. pOKAZATX, ˆTO ρ
∗
UDOWLETWORQET AKSIOMAM
METRIˆESKOGO PROSTRANSTWA I ˆTO METRIKI ρ I ρ
∗
OPREDELQ@T ODNU I TU VE TOPOLOGI@
NA M.
16. pUSTX O
1
I O
2
– DWE TOPOLOGII NA MNOVESTWE X, A O
1
(x) I O
1
(x) – MNOVESTWA
OKRESTNOSTEJ TOˆKI x ∈ X DLQ TOPOLOGIJ O
1
I O
2
SOOTWETSTWENNO. dOKAZATX, ˆTO
TOPOLOGIQ O
1
SLABEE TOPOLOGII O
2
TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ L@BOJ TOˆKI x
O
1
(x) ⊂ O
2
(x).
3. oKRESTNOSTI TOˆEK. wNUTRENNOSTX I ZAMYKANIE
pODMNOVESTWO A TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA X NAZYWAETSQ OKRESTNOSTX@ TOˆ-
KI x ∈ X, ESLI SU]ESTWUET TAKOE OTKRYTOE MNOVESTWO U, ˆTO x ∈ U I U ⊂ A.
tEOREMA 3. pODMNOVESTWO TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA QWLQETSQ OTKRY-
TYM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONO QWLQETSQ OKRESTNOSTX@ L@BOJ SWOEJ TOˆKI.
mNOVESTWO Φ OKRESTNOSTEJ TOˆKI x ∈ X NAZYWAETSQ FUNDAMENTALXNOJ SISTEMOJ
OKRESTNOSTEJ TOˆKI x, ESLI L@BAQ OKRESTNOSTX TOˆKI x SODERVIT NEKOTORU@ OKREST-
NOSTX, PRINADLEVA]U@ Φ. nAPRIMER, MNOVESTWO WSEH OTKRYTYH OKRESTNOSTEJ TOˆKI x
– FUNDAMENTALXNAQ SISTEMA OKRESTNOSTEJ “TOJ TOˆKI.
tOˆKA x ∈ X NAZYWAETSQ WNUTRENNEJ TOˆKOJ PODMNOVESTWA A TOPOLOGIˆESKOGO
PROSTRANSTWA X, ESLI A QWLQETSQ OKRESTNOSTX@ x. mNOVESTWO WSEH WNUTRENNIH TOˆEK
PODMNOVESTWA A NAZYWAETSQ WNUTRENNOSTX@ A I OBOZNAˆAETSQ ˆEREZ A
o
.
tEOREMA 4. wNUTRENNOSTX PODMNOVESTWA A QWLQETSQ NAIBOLX[IM IZ OTKRY-
TYH MNOVESTW, SODERVA]IHSQ W A.
tOˆKA x ∈ X NAZYWAETSQ TOˆKOJ PRIKOSNOWENIQ PODMNOVESTWA A TOPOLOGIˆESKOGO
PROSTRANSTWA X, ESLI PERESEˆENIE A S L@BOJ OKRESTNOSTX@ TOˆKI x NEPUSTO. mNOVE-
STWO WSEH TOˆEK PRIKOSNOWENIQ PODMNOVESTWA A NAZYWAETSQ ZAMYKANIEM A I OBOZNAˆA-
ETSQ ˆEREZ
¯
A.

Страницы