Сборник задач по топологии. Лосик М.В. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

5
tEOREMA 5. zAMYKANIE PODMNOVESTWA A QWLQETSQ NAIMENX[IM IZ ZAMKNUTYH
MNOVESTW, SODERVA]IH A.
zADAˆI
1. pUSTX B – BAZA TOPOLOGII PROSTRANSTWA X I x ∈ X. dOKAZATX, ˆTO MNOVESTWO
PODMNOVESTW B ∩ O(x) QWLQETSQ FUNDAMENTALXNOJ SISTEMOJ OKRESTNOSTEJ TOˆKI x.
2. nAJTI WSE OKRESTNOSTI TOˆKI x ∈ X W MNOVESTWE X S DISKRETNOJ I ANTIDISKRET-
NOJ TOPOLOGIEJ. wNUTRENNOSTX KAKIH PODMNOVESTW PROSTRANSTWA X S ANTIDISKRETNOJ
TOPOLOGIEJ PUSTA, A KAKIH NEPUSTA ?
3. pUSTX Φ(x) – FUNDAMENTALXNAQ SISTEMA OKRESTNOSTEJ TOˆKI x TOPOLOGIˆESKOGO
PROSTRANSTWA X. dOKAZATX, ˆTO TOˆKA x QWLQETSQ WNUTRENNEJ TOˆKOJ PODMNOVESTWA
A ⊂ X TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SU]ESTWUET OKRESTNOSTX, PRINADLEVA]AQ Φ(x),
KOTORAQ SODERVITSQ W A.
4. pUSTX Φ(x) – FUNDAMENTALXNAQ SISTEMA OKRESTNOSTEJ TOˆKI x TOPOLOGIˆESKOGO
PROSTRANSTWA X. dOKAZATX, ˆTO TOˆKA x QWLQETSQ TOˆKOJ PRIKOSNOWENIQ PODMNOVESTWA
A ⊂ X TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA L@BAQ OKRESTNOSTX, PRINADLEVA]AQ Φ(x), IMEET
NEPUSTOE PERESEˆENIE S A.
5. dOKAZATX, ˆTO W METRIˆESKOM PROSTRANSTWE OTKRYTYJ [AR SODERVITSQ WO WNU-
TRENNOSTI SOOTWETSTWU@]EGO ZAMKNUTOGO [ARA, A W PROSTRANSTWE R
n
OTKRYTYJ [AR
SOWPADAET S WNUTRENNOSTX@ SOOTWETSTWU@]EGO ZAMKNUTOGO [ARA.
6. dOKAZATX, ˆTO W METRIˆESKOM PROSTRANSTWE ZAMYKANIE OTKRYTOGO [ARA SODER-
VITSQ W SOOTWETSTWU@]EM ZAMKNUTOM [ARE, A W PROSTRANSTWE R
n
ZAMYKANIE OTKRYTOGO
[ARA SOWPADAET S SOOTWETSTWU@]IM ZAMKNUTYM [AROM.
7. dOKAZATX, ˆTO DLQ DWUH NEPERESEKA@]IHSQ OTKRYTYH MNOVESTW TOPOLOGIˆESKOGO
PROSTRANSTWA ZAMYKANIE L@BOGO IZ NIH NE PERESEKAETSQ S DRUGIM.
8. pUSTX U – OTKRYTOE, A A – PROIZWOLXNOE PODMNOVESTWO TOPOLOGIˆESKOGO PRO-
STRANSTWA. dOKAZATX, ˆTO ESLI U ∩
¯
A 6= ∅, TO U ∩ A 6= ∅.
9. dOKAZATX, ˆTO DLQ DWUH ZAMKNUTYH MNOVESTW F
1
I F
2
, POKRYWA@]IH TOPOLOGI-
ˆESKOE PROSTRANSTWO X (T.E. F
1
∪ F
2
= X), DOPOLNENIE L@BOGO IZ NIH SODERVITSQ WO
WNUTRENNOSTI DRUGOGO.
10. pUSTX M – METRIˆESKOE PROSTRANSTWO, A ⊂ M I x ∈ M. nAZOWEM RASSTOQNIEM
OT TOˆKI x ∈ M DO A ⊂ M ˆISLO ρ(x, A) = inf
y∈A
ρ(x, y). dOKAZATX, ˆTO x ∈
¯
A TOGDA I
TOLXKO TOGDA, KOGDA ρ(x, A) = 0.
11. pUSTX M – METRIˆESKOE PROSTRANSTWO, A ⊂ M I x ∈ M. rASSMOTRIM RASSTOQ-
NIE ρ(x, A) OT TOˆKI x ∈ M DO A, WWEDENNOE W ZADAˆE 10. dOKAZATX, ˆTO ρ(x,
¯
A) = ρ(x, A).
12. pUSTX {x
n
} – POSLEDOWATELXNOSTX TOˆEK TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA X. tOˆ-
KA x ∈ X NAZYWAETSQ PREDELXNOJ TOˆKOJ POSLEDOWATELXNOSTI {x
n
}, ESLI L@BAQ EE
OKRESTNOSTX SODERVIT ˆLENY POSLEDOWATELXNOSTI SO SKOLX UGODNO BOLX[IMI NOMERAMI.
pOKAZATX, ˆTO x – PREDELXNAQ TOˆKA POSLEDOWATELXNOSTI {x
n
} TOGDA I TOLXKO TOGDA,
KOGDA DLQ L@BOGO n x QWLQETSQ TOˆKOJ PRIKOSNOWENIQ MNOVESTWA ˆLENOW POSLEDOWATELX-
NOSTI {x
n
}, NAˆINAQ S n-OGO.
13. pOKAZATX, ˆTO W METRIˆESKOM PROSTRANSTWE M MNOVESTWO WSEH OTKRYTYH (ZA-
MKNUTYH) [AROW S CENTROM W TOˆKE x ∈ M, RADIUSY KOTORYH PROBEGA@T POSLEDOWA-
TELXNOSTX POLOVITELXNYH DEJSTWITELXNYH ˆISEL, SHODQ]U@SQ K NUL@, OBRAZU@T FUN-
DAMENTALXNU@ SISTEMU OKRESTNOSTEJ TOˆKI x.

Страницы