Сборник задач по топологии. Лосик М.В. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

7
9. pUSTX X I Y – TOPOLOGIˆESKIE PROSTRANSTWA I f : X → Y – BIEKTIWNOE OTOBRA-
VENIE. pOKAZATX, ˆTO f – GOMEOMORFIZM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA TOPOLOGIQ NA Y
QWLQETSQ SAMOJ SILXNOJ IZ WSEH TOPOLOGIJ, DLQ KOTORYH f NEPRERYWNO.
10. dOKAZATX, ˆTO OTOBRAVENIE f : X → Y TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA X W
TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO Y NEPRERYWNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ L@BOGO
PODMNOVESTWA A PROSTRANSTWA Y f
−1
(A
o
) ⊂ (f
−1
(A))
o
.
11. dOKAZATX, ˆTO OTOBRAVENIE f : X → Y TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA X W
TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO Y NEPRERYWNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ L@BOGO
PODMNOVESTWA A PROSTRANSTWA X f (
¯
A) ⊂ f(A).
5. pODPROSTRANSTWO TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA
pUSTX A – PODMNOVESTWO TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA X. iNDUCIROWANNOJ TOPO-
LOGIEJ NA PODMNOVESTWE A NAZYWAETSQ MNOVESTWO PERESEˆENIJ WSEH OTKRYTYH MNOVESTW
PROSTRANSTWA X S A. mNOVESTWO A S INDUCIROWANNOJ NA NEM TOPOLOGIEJ NAZYWAETSQ
PODPROSTRANSTWOM TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA X.
tEOREMA 8. mNOVESTWO ZAMKNUTYH MNOVESTW PODPROSTRANSTWA A TOPOLOGI-
ˆESKOGO PROSTRANSTWA X SOWPADAET S MNOVESTWOM PERESEˆENIJ ZAMKNUTYH MNOVE-
STWA PROSTRANSTWA X S A.
zADAˆI
1. pOKAZATX, ˆTO INDUCIROWANNAQ TOPOLOGIQ NA PODMNOVESTWE TOPOLOGIˆESKOGO PRO-
STRANSTWA S DISKRETNOJ (ANTIDISKRETNOJ) TOPOLOGIEJ QWLQETSQ DISKRETNOJ (ANTIDIS-
KRETNOJ).
2. pUSTX X – TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO I A ⊂ X – OTKRYTOE (ZAMKNUTOE) MNO-
VESTWO. pOKAZATX, ˆTO MNOVESTWO OTKRYTYH (ZAMKNUTYH) MNOVESTW PODPROSTRANSTWA
A SOWPADAET S MNOVESTWOM OTKRYTYH (ZAMKNUTYH) MNOVESTW PROSTRANSTWA X, SODER-
VA]IHSQ W A.
3. pUSTX X – TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO I A ⊂ X. dOKAZATX, ˆTO MNOVESTWO
OKRESTNOSTEJ TOˆKI x ∈ A SOWPADAET S MNOVESTWOM PERESEˆENIJ OKRESTNOSTEJ TOˆKI x
W X S PODMNOVESTWOM A.
4. pUSTX M – METRIˆESKOE PROSTRANSTWO I A ⊂ M. pOKAZATX, ˆTO INDUCIROWANNAQ
TOPOLOGIQ NA A SOWPADAET S TOPOLOGIEJ A KAK METRIˆESKOGO PROSTRANSTWA S INDUCIRO-
WANNOJ METRIKOJ.
5. pUSTX B – BAZA TOPOLOGII TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA X I A ⊂ X. pOKAZATX,
ˆTO MNOVESTWO PODMNOVESTW B
A
= {U ∩ A | U ∈ B} – BAZA TOPOLOGII PODPROSTRANSTWA
A.
6. pUSTX {U
i
}
i∈I
– POKRYTIE TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA X OTKRYTYMI MNOVE-
STWAMI. pOKAZATX, ˆTO ESLI B
i
– BAZA TOPOLOGII PODPROSTRANSTWA U
i
, TO ∪
i∈I
B
i
– BAZA
TOPOLOGII PROSTRANSTWA X.
7. pOKAZATX, ˆTO INDUCIROWANNAQ TOPOLOGIQ NA PODMNOVESTWE A TOPOLOGIˆESKOGO
PROSTRANSTWA X DISKRETNA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA KAVDAQ TOˆKA A IMEET W X
OKRESTNOSTX, NE SODERVA]U@ DRUGIH TOˆEK A. wYWESTI OTS@DA, ˆTO TOPOLOGIQ, INDUCI-
ROWANNAQ NA MNOVESTWE Z CELYH DEJSTWITELXNYH ˆISEL KAK PODMNOVESTWE PROSTRANSTWA
R S OBYˆNOJ TOPOLOGIEJ, DISKRETNA.
8. pUSTX A I B – PODMNOVESTWA TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA X I B ⊂ A. pO-
KAZATX, ˆTO WNUTRENNOSTX B W PROSTRANSTWE X SODERVITSQ WO WNUTRENNOSTI B KAK
PODMNOVESTWE PODPROSTRANSTWA A. rASSMOTRETX SLUˆAJ, KOGDA X = R, A = [a, b] I
B = [a, c] (a < c < b) I NAJTI WNUTRENNOSTI B W R I A.

Страницы