Сборник задач по топологии. Лосик М.В. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

3
2. tOPOLOGIQ METRIˆESKOGO PROSTRANSTWA
mETRIˆESKIM PROSTRANSTWOM NAZYWAETSQ MNOVESTWO M, DLQ L@BYH DWUH TOˆEK
x I y KOTOROGO ZADANO NEOTRICATELXNOE DEJSTWITELXNOE ˆISLO ρ(x, y), NAZYWAEMOE RAS-
STOQNIEM MEVDU TOˆKAMI x I y, UDOWLETWORQ@]EE SLEDU@]IM AKSIOMAM
(1) ρ(x, y) = 0 TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA x = y;
(2) ρ(y, x) = ρ(x, y) (AKSIOMA SIMMETRIˆNOSTI RASSTOQNIQ);
(3) ρ(x, y) + ρ(y, z) ≥ ρ(x, z) (x, y, z ∈ M) (AKSIOMA TREUGOLXNIKA).
oTKRYTYM [AROM METRIˆESKOGO PROSTRANSTWA M S CENTROM W TOˆKE x
0
I RADIUSA
r > 0 NAZYWAETSQ MNOVESTWO B(x
0
, r) TOˆEK x ∈ M TAKIH, ˆTO ρ(x
0
, x) < r. pODMNO-
VESTWO METRIˆESKOGO PROSTRANSTWA NAZYWAETSQ OTKRYTYM MNOVESTWOM, ESLI WMESTE S
KAVDOJ SWOEJ TOˆKOJ ONO SODERVIT NEKOTORYJ OTKRYTYJ [AR S CENTROM W “TOJ TOˆKE.
tEOREMA 2. mNOVESTWO WSEH OTKRYTYH [AROW METRIˆESKOGO PROSTRANSTWA QW-
LQETSQ BAZOJ EGO TOPOLOGII.
zADAˆI
1. dLQ L@BOGO MNOVESTWA X OPREDELIM RASSTOQNIE ρ USLOWIEM ρ(x, x) = 0 I ρ(x, y) =
1, ESLI x 6= y. pROWERITX, ˆTO ρ UDOWLETWORQET AKSIOMAM METRIˆESKOGO PROSTRANSTWA I
NAJTI TOPOLOGI@ “TOGO METRIˆESKOGO PROSTRANSTWA.
2. pOKAZATX, ˆTO NA MNOVESTWE X, SODERVA]EM BOLEE ODNOGO “LEMENTA, ANTIDIS-
KRETNAQ TOPOLOGIQ NE MOVET BYTX TOPOLOGIEJ METRIˆESKOGO PROSTRANSTWA, OPREDELEN-
NOGO NEKOTOROJ METRIKOJ NA X. sNAˆALA RASSMOTRETX SLUˆAJ, KOGDA X SOSTOIT IZ DWUH
“LEMENTOW.
3. pOKAZATX, ˆTO NA ˆISLOWOJ PRQMOJ R S OBYˆNOJ TOPOLOGIEJ DOPOLNENIE SˆETNOGO
MNOVESTWA MOVET BYTX OTKRYTYM MNOVESTWOM, A MOVET I NE BYTX IM.
4. pOKAZATX, ˆTO TOPOLOGIQ METRIˆESKOGO PROSTRANSTWA NA MNOVESTWE CELYH DEJ-
STWITELXNYH ˆISEL Z S OBYˆNOJ METRIKOJ DISKRETNA.
5. pOKAZATX ˆTO NA ˆISLOWOJ PRQMOJ R S OBYˆNOJ TOPOLOGIEJ PERESEˆENIE BESKONEˆ-
NOGO ˆISLA OTKRYTYH INTERWALOW MOVET BYTX ZAMKNUTYM MNOVESTWOM, A OB˙EDINENIE
BESKONEˆNOGO ˆISLA ZAMKNUTYH INTERWALOW – OTKRYTYM MNOVESTWOM.
6. rASSMOTRIM MNOVESTWO RACIONALXNYH ˆISEL Q KAK METRIˆESKOE PROSTRANSTWO S
OBYˆNOJ METRIKOJ. dOKAZATX, ˆTO OTKRYTYE [ARY W Q QWLQ@TSQ ZAMKNUTYMI MNOVE-
STWAMI, ESLI IH RADIUSY IRRACIONALXNY.
7. pOKAZATX, ˆTO ZAMKNUTYJ [AR METRIˆESKOGO PROSTRANSTWA M, T.E. MNOVESTWO
TOˆEK, RASSTOQNIE KOTORYH DO NEKOTOROJ TOˆKI x
0
∈ M MENX[E ILI RAWNO r (r > 0),
QWLQETSQ ZAMKNUTYM MNOVESTWOM.
8. pOKAZATX ˆTO W PROSTRANSTWE R
n
ZAMKNUTYJ PARALLELIPIPED, T.E. MNOVESTWO
TOˆEK x = (x
1
, . . . , x
n
), UDOWLETWORQ@]IH NERAWENSTWAM a
i
≤ x
i
≤ b
i
(a
i
< b
i
, i = 1, . . . , n)
QWLQETSQ ZAMKNUTYM MNOVESTWOM. sNAˆALA RASSMOTRETX SLUˆAJ n = 2.
9. pOKAZATX, ˆTO W PROSTRANSTWE R
n
S OBYˆNOJ TOPOLOGIEJ DOPOLNENIE L@BOGO
KONEˆNOGO PODMNOVESTWA – OTKRYTOE MNOVESTWO.
10. pROWERITX, ˆTO SLEDU@]AQ FUNKCIQ NA R
n
× R
n
:
ρ(x, y) = max
1≤i≤n
|x
i
− y
i
|,
GDE x = (x
i
), y = (y
i
) ∈ R
n
, UDOWLETWORQET AKSIOMAM METRIˆESKOGO PROSTRANSTWA. ˜TO
PREDSTAWLQET SOBOJ OTKRYTYJ [AR W “TOM METRIˆESKOM PROSTRANSTWE ?

Страницы