Составители:
Рубрика:
wWEDENIE
oB]AQ TOPOLOGIQ, KOTORAQ IZUˆAETSQ STUDENTAMI MEHANIKO-MATEMATIˆESKO-
GO FAKULXTETA NA WTOROM KURSE, ˆASTO USWAIWAETSQ S BOLX[IMI ZATRUDNENIQMI. dLQ
“TOGO IMEETSQ NESKOLXKO PRIˆIN. wO-PERWYH, W OTLIˆIE OT BOLX[INSTWA DRUGIH MATE-
MATIˆESKIH DISCIPLIN, IZUˆAEMYH NA PERWOM I WTOROM KURSAH, OB]AQ TOPOLOGIQ OˆENX
ABSTRAKTNA PO SWOEJ SUTI, A ABSTRAKTNYE RASUVDENIQ DA@TSQ MNOGIM STUDENTAM S TRU-
DOM I USWAIWA@TSQ ˆISTO FORMALXNO. wO-WTORYH, ZNAˆITELXNAQ ˆASTX KURSA PREDSTAWLQ-
ET SOBOJ NOWYJ QZYK S MASSOJ NOWYH ABSTRAKTNYH PONQTIJ, KOTORYE TREBU@T WREMENI
I TRENIROWKI DLQ IH USWOENIQ. k SOVALENI@, IZWESTNYE UˆEBNIKI I, OSOBENNO SBOR-
NIKI ZADAˆ, PO TOPOLOGII RASˆITANY NA HORO[IH STUDENTOW I SODERVAT MALO PROSTYH
ZADAˆ, KOTORYE DOSTUPNY BOLX[INSTWU. dANNOE POSOBIE QWLQETSQ POPYTKOJ WOSPOLNITX
UKAZANNYE PROBELY.
pOSOBIE POSTROENO SLEDU@]IM OBRAZOM. oNO SOSTOIT IZ NESKOLXKIH RAZDELOW PO
OSNOWNYM ˆASTQM TOPOLOGII. kAVDYJ RAZDEL SOSTOIT IZ KRATKOJ TEORETIˆESKOJ ˆASTI,
W KOTOROJ DA@TSQ OPREDELENIQ OSNOWNYH PONQTIJ I FORMULIRU@TSQ (BEZ DOKAZATELX-
STWA) OSNOWNYE TEOREMY. dALEE PRIWODQTSQ ZADAˆI, NAˆINAQ S SOWSEM PROSTYH, TREBU-
@]IH DLQ SWOEGO RE[ENIQ PONIMANIQ PONQTIJ DANNOGO RAZDELA I PROSTYH LOGIˆESKIH
UMOZAKL@ˆENIJ, I DALEE NESKOLXKO BOLEE SLOVNYH, GDE ISPOLXZU@TSQ BOLX[E PONQTIJ I
SWQZEJ MEVDU NIMI. w ˆASTNOSTI, WO MNOGIH ZADAˆAH OPREDELQ@TSQ I ISPOLXZU@TSQ KON-
KRETNYE TOPOLOGIˆESKIE PROSTRANSTWA, NA KOTORYH OB]IE PONQTIQ IME@T ESTESTWENNYJ
SMYSL. pOSTEPENNO, OT RAZDELA K RAZDELU, W PROCESS FORMULIROWKI I RE[ENIQ ZADAˆ WO-
WLEKAETSQ WSE BOLX[EE I BOLX[EE KOLIˆESTWO PONQTIJ I FAKTOW TOPOLOGII.
kAK POKAZYWAET OPYT, RE[ENIE DAVE SAMYH PROSTYH ZADAˆ, OSOBENNO NA PERWYH
PORAH, U MNOGIH STUDENTOW WYZYWAET ZATRUDNENIQ. pO“TOMU POMO]X PREPODAWATELQ W
RE[ENII MNOGIH ZADAˆ QWLQETSQ ESTESTWENNOJ I NEOBHODIMOJ. pOSLE RE[ENIQ OSNOW-
NYH ZADAˆ “TOGO POSOBIQ OSNOWNYE PONQTIQ I TEOREMY TOPOLOGII OBYˆNO USWAIWA@TSQ
STUDENTAMI BOLEE ILI MENEE USPE[NO.
1. oPREDELENIE TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA. pREDBAZA I BAZA TOPOLOGII.
zAMKNUTYE MNOVESTWA
tOPOLOGIEJ NA MNOVESTWE X NAZYWAETSQ MNOVESTWO PODMNOVESTW O MNOVESTWA X,
UDOWLETWORQ@]EE SLEDU@]IM AKSIOMAM
(1) pUSTOE PODMNOVESTWO ∅ I MNOVESTWO X PRINADLEVAT O;
(2) oB˙EDINENIE L@BOGO MNOVESTWA PODMNOVESTW, PRINADLEVA]IH O, PRINADLEVIT
O;
(3) pERESEˆENIE DWUH PODMNOVESTW, PRINADLEVA]IH O, PRINADLEVIT O.
mNOVESTWO X S ZADANNOJ NA NEM TOPOLOGIEJ O NAZYWAETSQ TOPOLOGIˆESKIM PROSTRAN-
STWOM, A PODMNOVESTWA, PRINADLEVA]IE O – OTKRYTYMI MNOVESTWAMI. w DALXNEJ-
[EM TOPOLOGIˆESKOE PROSTRANSTWO OBOZNAˆAETSQ ˆEREZ (X, O) ILI ˆEREZ (X, O
X
), ESLI
MY HOTIM PODˆERKNUTX, ˆTO O
X
– TOPOLOGIQ NA X, A INOGDA PROSTO ˆEREZ X.
pUSTX O
1
I O
2
– DWE TOPOLOGII NA MNOVESTWE X. gOWORQT, ˆTO O
1
SLABEE O
2
(ILI
O
1
SILXNEE O
2
), ESLI O
1
⊂ O
2
.
eSLI TOPOLOGIQ O NA MNOVESTWE X QWLQETSQ SAMOJ SLABOJ IZ WSEH TOPOLOGIJ NA
“TOM MNOVESTWE, SODERVA]IH NEKOTOROE MNOVESTWO PODMNOVESTW A MNOVESTWA X, TO
A NAZYWAETSQ PREDBAZOJ TOPOLOGII O ILI GOWORQT, ˆTO TOPOLOGIQ O POROVDENA MNO-
VESTWOM PODMNOVESTW A. mNOVESTWO OTKRYTYH MNOVESTW B TOPOLOGII O NAZYWAETSQ
1
