Составители:
Рубрика:
2
BAZOJ O, ESLI L@BOE NEPUSTOE OTKRYTOE MNOVESTWO U ∈ O QWLQETSQ OB˙EDINENIEM POD-
MNOVESTW, PRINADLEVA]IH B.
tEOREMA 1. mNOVESTWO PODMNOVESTW B MNOVESTWA X QWLQETSQ BAZOJ NEKO-
TOROJ TOPOLOGII NA X TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONO UDOWLETWORQET SLEDU@]IM
USLOWIQM:
(1) ∪B = X;
(2) eSLI PERESEˆENIE DWUH PODMNOVESTW A, B ∈ B NEPUSTO, TO ONO QWLQETSQ OB˙-
EDINENIEM NEKOTOROGO MNOVESTWA PODMNOVESTW, PRINADLEVA]IH B.
pODMNOVESTWO TOPOLOGIˆESKOGO PROSTRANSTWA X NAZYWAETSQ ZAMKNUTYM MNOVE-
STWOM, ESLI EGO DOPOLNENIE – OTKRYTOE MNOVESTWO PROSTRANSTWA X.
zADAˆI
1. nAJTI WSE TOPOLOGII NA MNOVESTWE, SOSTOQ]EM IZ DWUH TOˆEK. uKAZATX TE IZ NIH,
KOTORYE OTLIˆNY OT DISKRETNOJ I ANTIDISKRETNOJ.
2. pRIWESTI PRIMERY TOPOLOGIJ NA MNOVESTWE, SOSTOQ]EM IZ TREH “LEMENTOW, OT-
LIˆNYH OT DISKRETNOJ I ANTIDISKRETNOJ.
3. kAKAQ TOPOLOGIQ NA MNOVESTWE X POROVDAETSQ MNOVESTWOM WSEH ODNO“LEMENT-
NYH PODMNOVESTW {x} (x ∈ X) ?
4. pOKAZATX, ˆTO MNOVESTWO DOPOLNENIJ WSEH KONEˆNYH PODMNOVESTW MNOVESTWA X,
DOPOLNENNOE PUSTYM PODMNOVESTWOM, QWLQETSQ TOPOLOGIEJ NA X. dLQ KAKIH MNOVESTW
X “TA TOPOLOGIQ OTLIˆNA OT DISKRETNOJ ?
5. pOKAZATX, ˆTO PERESEˆENIE L@BOGO SEMEJSTWA TOPOLOGIJ NA MNOVESTWE X QWLQ-
ETSQ TOPOLOGIEJ NA X.
6. nA MNOVESTWE CELYH DEJSTWITELXNYH ˆISEL Z NAJTI TOPOLOGII, POROVDENNYE:
A) KONEˆNYMI INTERWALAMI {m, m + 1, . . . , n} (m, n ∈ Z, m < n); B) BESKONEˆNYMI IN-
TERWALAMI {m, m + 1, . . . } (m ∈ Z}. sRAWNITX “TI TOPOLOGII.
7. pUSTX B
1
I B
2
– BAZY TOPOLOGIJ O
1
I O
2
NA MNOVESTWE X. dOKAZATX, ˆTO
TOPOLOGIQ O
1
SLABEE TOPOLOGII O
2
TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA L@BOE NEPUSTOE POD-
MNOVESTWO, PRINADLEVA]EE B
1
, QWLQETSQ OB˙EDINENIEM PODMNOVESTW, PRINADLEVA]IH
B
2
.
8. pOKAZATX, ˆTO NA MNOVESTWE R DEJSTWITELXNYH ˆISEL MNOVESTWO WSEH OTKRY-
TYH INTERWALOW (a, b) (a < b) QWLQETSQ BAZOJ NEKOTOROJ TOPOLOGII. pOKAZATX, ˆTO W
“TOJ TOPOLOGII PERESEˆENIE BESKONEˆNOGO ˆISLA OTKRYTYH MNOVESTW MOVET NE BYTX
OTKRYTYM MNOVESTWOM.
9. pOKAZATX, ˆTO NA PLOSKOSTI R
2
MNOVESTWO WSEH OTKRYTYH KONEˆNYH OTREZKOW,
PARALLELXNYH NEKOTOROJ PRQMOJ, QWLQETSQ BAZOJ NEKOTOROJ TOPOLOGII.
10. pOKAZATX, ˆTO NA PLOSKOSTI R
2
MNOVESTWO PRQMOUGOLXNIKOW {(x, y) | a
1
< x <
b
1
, a
2
< y < b
2
} (a
1
< a
2
, b
1
< b
2
) QWLQETSQ BAZOJ NEKOTOROJ TOPOLOGII NA R
2
.
11. pOKAZATX, ˆTO MNOVESTWO WSEH KONEˆNYH PODMNOVESTW MNOVESTWA X, DOPOLNEN-
NOE MNOVESTWOM X, QWLQETSQ MNOVESTWOM ZAMKNUTYH MNOVESTW NEKOTOROJ TOPOLOGII NA
X. dLQ KAKIH MNOVESTW X “TA TOPOLOGIQ OTLIˆNA OT DISKRETNOJ ?
12. pUSTX NA MNOVESTWE X ZADANY DWE TOPOLOGII O
1
I O
2
S POMO]X@ MNOVESTW
ZAMKNUTYH MNOVESTW F
1
I F
2
. pOKAZATX, ˆTO TOPOLOGIQ O
1
SLABEE TOPOLOGII O
2
TOGDA
I TOLXKO TOGDA, KOGDA F
1
⊂ F
2
.
