ВУЗ:
Составители:
17
в виде ряда Тейлора в окрестности
0
0tt
. Имеем:
y(t) = y(0) +
(0)
1!
t dy
dt
+
22
2
(0)
2!
t d y
dt
+
... (0) ...
!
kk
k
t d y
k dt
=
= y(0) +
(0)
1!
t
Аy
+
2
2
(0)
2!
t
Ay
+
... (0) ... .
!
k
k
t
Ay
k
.
Теорема. Вектор-функцию
()ty
, являющуюся решением задачи
Коши
0
,
dy
Ay y y
dt
при
0t
, (1.35)
где
A
– постоянная матрица, можно представить в виде функционального
ряда:
()ty
=
2
0 0 2 0 0
... ...
1! 2! !
k
k
t t t
y Аy А y А y
k
, (1.36)
равномерно сходящегося на любом конечном отрезке
T<t
. При этом
()ty
имеет непрерывные производные любого порядка.
Доказательство. Равномерная сходимость ряда (1.36), члены
которого – непрерывные вектор-функции, следует из оценки:
0
!
k
k
t
Ay
k
0
!
kk
tA
y
k
()
!
k
TA
k
0
y
.
Очевидно, числовой ряд
0
y
+
1!
TA
0
y
+
2
()
2!
TA
0
y
+ …+
()
!
k
TA
k
0
y
+ ...,
сходящийся к
TA
e
0
y
, является мажорирующим, что и доказывает,
согласно признаку Вейерштрасса, равномерную сходимость (1.36) к
непрерывной вектор-функции
()ty
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
