Учебно-методическое пособие по курсу "Математическое моделирование". Часть 1. Осциллятор. Ловецкий К.П - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

10
два. Подставляя соотношение
2
/2ka W
=
вместе с выражением
для
()
П
Wx в (1.11), получаем
1
22 2
00
4/ 4/ 2 /.
1
a
dx d
Tmk mk mk
ax
ξ
π
ξ
===
−−
∫∫
Как и следовало ожидать, получился тривиальный резуль-
тат: линейный осциллятор совершает изохронные колебания с
периодом
0
2/T
π
ω
= .
Второй пример — маятник, причем будем считать, что угол
отклонения от нижнего положения равновесия может быть боль-
шим (но не превышать по модулю
π
, чтобы движение маятника
было колебательным). Потенциальная энергия равна
() (1 cos )
П
Wmgl
ϕ
ϕ
=
− , и, используя аналогию между грузиком
на пружинке и маятником, записываем выражение для периода
колебаний
[]
0
4.
2(1cos)/
m
d
T
Wmgl I
ϕ
ϕ
ϕ
=
−−
∫
(1.12)
Максимальный угол отклонения
m
ϕ
находится из условия
(1 cos )
m
Wmgl
ϕ
−− , подставляя которое в (1.12), получаем
0
0
22
0
0
4
2(cos cos )
2
.
sin ( / 2) sin ( / 2)
m
m
m
m
d
T
d
ϕ
ϕ
ϕ
ω
ϕϕ
ϕ
ω
ϕϕ
==
−
=
−
∫
∫
(1.13)
0
/gl
ω
= .Обозначим sin( / 2) /(2 )
m
Wmgl
κϕ
== , 01
κ
<
<
и сделаем замену переменных:
sin( / 2) t
κ
=
, тогда формулу
(1.13) можно преобразовать к виду
2
0
4
().TK
κ
ω
=
(1.14)
где
()Kx — полный эллиптический интеграл первого рода
[4].

Страницы