Учебно-методическое пособие по курсу "Математическое моделирование". Часть 1. Осциллятор. Ловецкий К.П - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

9
энергией, показанной на рис. 2. Очевидно, что если полная энер-
гия частицы
W меньше, чем
0
W — высота максимума потенци-
альной кривой — и она находится слева от точки
0
x
, то частица
будет совершать колебания между двумя точками
1
x
и
2
x
, кото-
рые можно найти из решения уравнения
()
П
Wx W
=
(1.9)
Точки
1
x
и
2
x
называются точками поворота. В системе
сохраняется энергия
2
/2 ( )
П
mv W x W const+==
, поэтому
[]
2()/.
П
dx
WWx m
dt
=± −
(1.10)
Два знака корня соответствуют движению частицы слева
направо и справа налево. Для двух этих участков траектории в
каждой точке
x
скорости равны друг другу по абсолютной вели-
чине, поэтому время движения от
1
x
до
2
x
равно времени дви-
жения от
2
x
до
1
x
. Используя уравнение (1.10), можно записать
для времени одного полного цикла, т.е. для периода колебаний
[]
2
1
2.
2()/
x
x
П
dx
T
WWx m
=
−
∫
(1.11)
Из этой формулы следует, что для произвольной потенци-
альной функции
()
П
Wx период колебаний, вообще говоря, дол-
жен зависеть от энергии
W . Эта зависимость обусловлена, во-
первых, наличием
W в знаменателе подынтегрального выраже-
ния, а во-вторых, тем, что пределы интегрирования также зависят
от энергии, так как они есть результат решения уравнения
(1.9).
Обратимся к примерам. Самый простой случай, это линей-
ный осциллятор, для него
2
() /2
П
Wx kx= . Поскольку ()
П
Wx —
четная функция и точки поворота
1,2
x
a
=
± симметрично распо-
ложены относительно нуля, то интеграл в
(1.11) можно брать
только по положительны значениям
x
, а результат умножить на

Страницы