Учебно-методическое пособие по курсу "Математическое моделирование". Часть 1. Осциллятор. Ловецкий К.П - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

12
щий множитель
exp( )
p
t
, получаем, что предполагаемое решение
действительно будет таковым, если параметр
p
удовлетворяет
уравнению
22
0
20pp
γω
+
+=
Это уравнение называется характеристическим для уравне-
ния
(1.1). Оно имеет два корня
22
1,2 0
,p
γγ
ω
=− −∓
(1.16)
которые либо действительны, если
0
γ
ω
> , либо комплексно со-
пряжены друг другу, если
0
0
γ
ω
<
< . Основной интерес для нас
пока будет представлять второй случай.
В этом режиме формулу
(1.16) можно переписать в виде
22
1,2 0
,.pi
γ
ωωω
γ
=− = −∓
(1.17)
Корни лежат в левой полуплоскости комплексной плоско-
сти
p
. Двум корням характеристического уравнения соответст-
вуют два решения
1,2 1,2
exp( )
pt
=
, поэтому, согласно принципу
суперпозиции (см. параграф 1), их линейная комбинация
12
12
()
pt p t
x
tCe Ce=+ (1.18)
(
12
,CC — константы) также является решением. В теории ли-
нейных дифференциальных уравнений показано, что если
12
p
p≠ , то формула (1.18) дает общее решение. Константы
12
,CC находятся из начальных условий. Предположим, что при
0t = выполняются начальные условия
0
(0)
x
x
=
,
0
(0)
x
v
=
, т.е.
заданы координата и скорость осциллятора. Тогда обычным об-
разом из
(1.18) получаем:
120 11220
,.CC x pC pC v+= + = (1.19)
Решение системы уравнений
(1.19) дает
20 0 10 0
12
21 12
,.
p
xv pxv
CC
p
ppp
−
−
==
−−
(1.20)
Если выполнено условие слабого затухания, используя
формулу
(1.17), будем иметь

Страницы