Учебно-методическое пособие по курсу "Математическое моделирование". Часть 1. Осциллятор. Ловецкий К.П - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

13
00
10
00
20
1
,
2
1
.
2
vx
Cxi
vx
Cxi
γ
ω
γ
ω
+
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
+
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
(1.21)
Обратим внимание, что
*
12
CC
=
. Такое соотношение долж-
но выполняться всегда, если
()
x
t — действительная функция.
Подставляя формулы
(1.21) в (1.18), после простых преобразова-
ний приходим к окончательному выражению:
00
0
() cos sin .
t
vx
x
te x t t
γ
γ
ω
ω
ω
−
+
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
(1.22)
Эта формула дает решение уравнения гармонического осцилля-
тора с затуханием для заданных начальных условий при
0t = .
Напомним. что если начальные условия ставятся в момент вре-
мени
0
t , то в (1.22) вместо t следует написать
0
tt
−
.
Решение уравнения гармонического осциллятора можно
также представить в виде
00
() cos( ),
t
xt Ae t
γ
ω
ϕ
−
=+
(1.23)
где
222
0000
()/,Axvx
γ
ω
=++ (1.24)
000 0 0 0 0
cos / , sin ( ) /( ).
x
AvxA
ϕγω
==−+ (1.25)
Зависимость координаты от времени
()
x
t
, задаваемая вы-
ражением
(1.23), показана на рис. 4.
Видно, что движение осциллятора больше не является периоди-
ческим, поэтому понятие амплитуды, периода и частоты колеба-
ний в их прежнем понимании теряют смысл. Тем не менее, неко-
торые черты периодического процесса сохраняются. В частности,
из
(1.23) следует, что положение равновесия осциллятор прохо-
дит через равные интервалы времени
/2T , где 2/T
π
ω
=
. Легко
показать, что точки максимума и минимума
()
x
t также следуют
периодически, с периодом
T
. По этой причине параметр
ω
ино-
гда называют частотой затухающих колебаний, а параметр
T —

Страницы