Учебно-методическое пособие по курсу "Математическое моделирование". Часть 1. Осциллятор. Ловецкий К.П - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

19
только для линейного дифференциального уравнения (1.1), но и
для произвольной нелинейной системы второго порядка. Рас-
смотрим, следуя [1], систему с динамическими переменными
x
и
y
, которая описывается двумя дифференциальными уравнения-
ми первого порядка
(, ), (, )
x
Fxy y Gxy==

(2.4)
где функции
(, )Fxy
и
(, )Gxy
предполагаются аналити-
ческими функциями своих переменных. Состояния равновесия
определяются решениями нелинейной системы уравнений
(, ) 0, (, ) 0.Fxy Gxy
=
=
Предположим, что точка
00
(, )
x
y на фазовой плоскости
есть такая неподвижная точка. Для исследования характера тра-
екторий вблизи нее представим
x
и
y
в виде
00
,xx yy
ξ
η
=+ =+, где ,
ξ
η
— малые добавки. Подставляя эти
формулы в
(2.4) и разлагая
(, )Fxy
и
(, )Gxy
в ряды Тейлора,
ограничиваясь при этом линейными слагаемыми в силу малости
ξ
и
, получаем
,
,
ab
cd
ξ
ξη
η
ξη
=+
=+
(2.5)
где
00 00 00 00
(, ), (, ), (, ), (, )
xy x y
a Fxy b Fxy c Gxy d Gxy
=
== =
.
Чтобы уравнения имели смысл, необходимо, чтобы выполнялись
условия
22
0ab+≠ и
22
0cd
+
≠ . Если они нарушены, одно из
уравнений
(2.5) имеет нулевые коэффициенты, это значит, что
ограничиваться только линейными членами разложения нельзя
при его получении нельзя. Будем считать эти условия выполнен-
ными. Таким образом, для описания динамики системы вблизи
положения равновесия можно пользоваться уравнением линейно-
го приближения
(2.5). У этого утверждения есть одно исключе-
ние, о котором будет сказано ниже.
Итак, ищем решение
(2.5) в виде
0
( ) exp( )tpt
ξ
ξ
=
,
( ) exp( )tpt
η
= . Тогда величины
0
ξ
и
0
η
должны удовлетворять
линейной системе уравнений

Страницы