Учебно-методическое пособие по курсу "Математическое моделирование". Часть 1. Осциллятор. Ловецкий К.П - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

22
Обозначив выражение в прямых скобках через новую пе-
ременную
α
, получаем для нее i
α
ωα
=
−
. Его решением явля-
ется
( ) (0) exp( )tit
α
αω
=−, поэтому величина
2
222
()ab
α
ξη ωξ
=+ + сохраняется во времени.
Следовательно, траектории вблизи особой точки системы
(2.5) имеют вид вложенных друг в друга эллипсов, и это центр.
Однако наличие центра в линеаризованных уравнениях не озна-
чает, что особая точка имеет тот же характер и в полных уравне-
ниях
(2.4). Возможны ситуации, когда закон сохранения появля-
ется в результате процедуры линеаризации. Подобным примером
служит система
22
22
(),
().
xyxx y
y
xyx y
=− +
=− − +
(2.7)
Линеаризованная вблизи нуля система
,
x
yy x
=
=−

, удов-
летворяет условию
S = 0
и для обоих переменных легко полу-
чить уравнение консервативного осциллятора. Тем не менее, в
полной системе
(2.7) закона сохранения нет: если умножить пер-
вое уравнение на
, второе на y и сложить их, то получим для
величины
22
rxy=+ уравнение
3
rr
=
−
, решение которого
1/ 2
2
() 2 1/ (0)rt t r
−
⎡⎤
=+
⎣⎦
. При t →∞ получаем () 0rt → , следо-
вательно, закон сохранения для уравнений
(2.7) отсутствует.
Итак, если исходная система консервативная, то положение
равновесия, для которого
S = 0, D > 0 , является центром. На
плоскости параметров
(S,D) этому случаю соответствует поло-
жительная полуось
D
(см. рис. 5). Казалось бы, можно вновь не
обращать на этот случай особого внимания, т.к. малое изменение
параметров приведет к смещению системы с этой линии и пре-
вращению эллипса либо в устойчивый, либо в неустойчивый фо-
кус. Однако для консервативной системы этот аргумент теряет
силу. Если потребовать, чтобы при ”шевелении”
параметров сис-
тема оставалась консервативной, то условие
S = 0 должно сохра-
няться, это значит, изображающая систему точка просто сместит-
ся вдоль оси
D
.

Страницы