ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
33
просто технические упражнения в математике. Оно проливает
свет на глубинные геометрические свойства этих систем.
Хорошо известное линейное обыкновенное дифференци-
альное уравнение второго порядка
(1.2) удобно представить в ви-
де пары взаимосвязанных уравнений первого порядка, а именно
x
y
=
(4.1)
2
y
wx=−
(4.2)
Умножая обе стороны
(4.1) на
2
x
ω
, а обе стороны (4.2) на
y
, и складывая их, приходим к тождеству
2
0yy w xx
+
=
Левая часть представляет собой производную по време-
ни
222
11
22
d
y
x
dt
ω
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
, откуда очевидным образом следует, что
заключенное в скобки выражение является постоянной величи-
ной:
()
()
222
1
1
,
2
y
xIxy
ω
+= (4.3)
Постоянную (по времени) функцию
1
I
называют обычно интегра-
лом движения или первым интегралом. Поскольку
yx
=
,
1
I
мож-
но отождествить с механической энергией
(1.4) системы. Эта ве-
личина может быть использована для перехода от системы из двух
уравнений
(4.1), (4.2) к одному уравнению. Выразив
y
в явном
виде через
x
и
1
I
из (4.3),
22
1
1
2
2
y
Ix
ω
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
, преобразуем
(4.1) к виду
22
1
1
2
2
dx
I
x
dt
ω
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
Решение этого уравнения можно представить в виде инте-
гралов с разделенными переменными или в квадратурах:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
