ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
35
ций Якоби). Уравнение движения колеблющейся частицы еди-
ничной массы имеет вид
2
2
sin 0,
dg
dt L
θ
θ
+
= (4.7)
где
θ
-.угол отклонения, L — длина нити, g — гравитационная
постоянная. В пределе малых отклонений можно ограничиться
первым членом разложения функции
sin в ряд, что приводит к
стандартному уравнению движения для обыкновенного гармони-
ческого осциллятора
2
2
0
dg
dt L
θ
θ
+
= .
Первый интеграл уравнения
(4.7) можно рассматривать как (при-
веденную) механическую энергию
E
′
системы:
2
1
cos
2
dg
E
dt L
θ
θ
⎛⎞
′
−
=
⎜⎟
⎝⎠
.
(Здесь
2
E
E
mL
′
=
, где E – истинная энергия системы с массой
m .) Квадратура принимает вид
()
()
.
2/cos
d
t
EgL
θ
θ
′
=
′
′
+
∫
(4.8)
(Здесь пропущена вторая постоянная интегрирования, которая в
данном случае играет роль сдвига по фазе). Интеграл в
(4.8) мо-
жет быть преобразован в интеграл первого рода, подобный
(4.6).
Для этого необходимо ввести переменную
cos ( / )ELg
ω
′
=
− , в
результате чего
(4.8) запишется как
0
2
cos cos
Ld
t
g
θ
θ
θ
ω
′
=
′
−
∫
.
Также как в случае линейной задачи, период движения может
быть вычислен как определенный интеграл в
(4.8). Интервал ин-
тегрирования ограничен здесь положением равновесия
0
θ
⊃ и
классической «точкой возврата»
0
arccos( / )EL g
θ
′
=
− , которая
по определению является переменной
ω
. Выражение для перио-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
