ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
36
да представляет собой [7] полный эллиптический интеграл. Само
решение может быть получено методом Якоби
() 2arcsin
g
xt th t
E
⎡⎤
⎛⎞
=
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
.
4.3. Динамика в фазовой плоскости
Вернемся к задаче (4.1), (4.2), две (независимые) пере-
менные
x
и
y
которой определяют пространство, где «движет-
ся» решение. Это фазовое пространство системы; а поскольку
оно двумерно, мы будем называть его фазовой плоскостью.
Значение фазовых координат (
x
и
y
в случае (4.1), (4.2))
в любой момент времени полностью определяют состояние сис-
темы. Решению уравнения движения как функции времени отве-
чает гладкая кривая в фазовой плоскости. Она называется фазо-
вой траекторией (иногда линией уровня), а движение вдоль тра-
ектории - фазовым потоком. Вследствие того, что фундамен-
тальным свойством решений дифференциальных уравнений яв-
ляется их однозначность,
различные фазовые траектории не пере-
секаются. Если множество различных решений (соответствую-
щих различным начальным условиям) изобразить на одной фазо-
вой плоскости, возникает общая картина поведения системы. Та-
кую картину, образованную набором фазовых траекторий, назы-
вают фазовым портретом.
На первый взгляд вовсе не очевидно, в каких областях фазового
пространства будут расположены решения
уравнений (4.1), (4.2).
Наиболее важную роль в определении этого играет существова-
ние (постоянного) интеграла движения. В нашем случае это ме-
ханическая энергия
222
E=1/2(y )
x
ω
+ , так что фазовый поток
описывается эллипсами, наибольшие и наименьшие оси которых
определяются энергией начальными условиями
(0)
x
и (0)
y
. Эти
эллипсы пересекают ось
x
в точках 2/xE
ω
=± (которые, ес-
тественно, представляют собой классические «точки возврата»,
используемые в качестве пределов интегрирования в
(4.1), (4.2)),
и ось
y в точках 2yE=± (см. рис. 9).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
