ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
40
В целом фазовый портрет приобретает вид, представлен-
ный на рис. 11. Пара фазовых траекторий, разделяющих колеба-
тельное и вращательное движения и пересекающихся в точках
неустойчивого равновесия, называется сепаратрисой.
Точкам устойчивого равновесия отвечают координаты
2
x
n
π
=± , а точкам неустойчивого равновесия — координаты
(2 1)xn
π
=± + .
4.5. Фазовые портреты консервативных систем
Существование постоянного первого интеграла у рас-
смотренных до сих пор систем позволяло нам глобально опреде-
лять фазовые траектории. Это означает, что явная функция
(, )EExy= , представляющая собой механическую энергию, оп-
ределяла фазовые траектории для произвольных начальных усло-
вий. При этом явный вид решения уравнений движения совсем не
требовался. Такие системы, для которых энергия представляет
собой интеграл движения, называются консервативными систе-
мами. В тех случаях, когда энергия может быть представлена (в
традиционном виде) как сумма кинетической
и потенциальной
энергий, структура фазовых траекторий (часто называемых для
консервативных систем линиями уровня) особенно проста. Для
рассматриваемого типа систем мы можем записать
2
1
(, ) (),
2
E
Exy y Vx==+
где «потенциальная функция»
()Vx представляет собой
(обычно) некоторую нелинейную функцию
x
, например,
() ( / )cosVx g L x=−
для математического маятника. Если счи-
тать, что соответствующее уравнение движения
() 0
V
xx
x
∂
+
=
∂
описывает движение частицы в потенциальной яме
()Vx (хотя
уравнение не обязательно должно иметь механическую природу),
то физическая интуиция может подсказать способ построения
линий уровня. Например, в случае простой линейной системы
(1.3) потенциальная функция ()Vx представляет собой парабо-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
