ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
43
5.1. Линейный осциллятор с затуханием
Проведем анализ неподвижных точек затухающего ли-
нейного осциллятора. У него имеется единственная непод-
вижная точка
00
0xy==. Линеаризованные в окрестности
этой точки уравнения совпадают с исходными уравнениями,
имеющие в матричной форме вид
2
01
x
x
d
y
y
dt
ωλ
⎡⎤ ⎡ ⎤⎡⎤
=
⎢⎥ ⎢ ⎥⎢⎥
−
⎣⎦ ⎣ ⎦⎣⎦
(5.1)
Нетрудно найти оба собственных значения системы:
22
1
1
4
22
λ
λ
λω
=− + − и
22
2
1
4
22
λ
λ
λω
=− − − .
В зависимости от относительных значений параметров
λ
и
ω
возможны следующие варианты точек.
При
22
4
λ
ω
> имеем
12
0
λ
λ
<
< и, следовательно, точка (0,0)
— устойчивый узел.
При
22
4
λ
ω
< имеем
22
12
/2 4 /2i
λλ λ ωλ
∗
==− + − , и, следо-
вательно, точка (0,0) — устойчивая спираль.
Полагая в
(5.1)
0
η
=
и
0
ξ
>
, убеждаемся, что
0
δ
η
<
. Отсю-
да следует, что движение по спирали происходит по часовой
стрелке (см. рис. 9).
При
22
4
λ
ω
= имеем
12
/2
λ
λλ
=
=− ; следовательно в этом
вырожденном случае точка (0,0) представляет собой несобст-
венный устойчивый узел [
7].
5.2. Математический маятник
Неподвижных точек бесконечно много
(, )( ,0)
nn
xy n
π
=
± , 0,1, 2,...n
=
, и линеаризованные уравнения
имеют вид
(, )
ξ
η
01
cos 0
n
d
g
dt
xx
L
ξ
ξ
η
η
⎡⎤
⎡⎤ ⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
−
⎣⎦ ⎣⎦
⎣⎦
(5.2)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
