ВУЗ:
Составители:
мость процесса полиномиального интерполирования произ-
вольной функции отнюдь не гарантирована.
Впервые явление расходимости процесса полиноми-
альной интерполяции было зафиксировано Рунге (1901). Им
интерполировалась функция
2
1
()
125
fx
x
=
+
(в литературе
часто именуемая функцией Рунге) на интервале [-1,1] с ис-
пользованием системы равномерных сеток и при n > 9 был
обнаружен неограниченный рост равномерной погрешности
приближения. Для рассмотренных выше примеров 1 и 2 на
рисунках 5.1 - 5.3 представлен вид функции
() sin4
n
Px x
−
при n=5, n=20 и n=69, соответственно.
Последующее изучение сходимости интерполяционного
процесса показало, что существенными являются как свой-
ства функции, так и тип сетки. Так,
Фабером была доказана
следующая теорема.
Теорема Фабера. Какова бы ни была последова-
тельность сеток всегда найдется непрерывная функция,
для которой процесс полиномиального интерполирования
на этих сетках расходится.
n
Ω
В свою очередь,
Марцинкевичем было доказано
более оптимистическое утверждение.
Теорема. Для любой непрерывной функции всегда
найдется такая система сеток
n
Ω
, на которой процесс поли-
номиальной интерполяции будет равномерно сходящимся.
31
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
