ВУЗ:
Составители:
1.2. Базисные полиномы Лагранжа
6
n
Попробуем построить многочлен n-ой степени ()
в виде линейной комбинации многочленов одина-
ковой n-й степени (),
n
Lx
0
()
n
ii
i
cl x
=
∑
i
lx
0,1,...,i
=
. (Здесь i – номер много-
члена от 0 до n.) Для того, чтобы такой многочлен был ин-
терполяционным для функции
(
)
f
x
, достаточно зафикси-
ровать в качестве коэффициентов этой линейной комби-
нации заданные в таблице
i
c
(1.1) значения ()
ii
y
fx
=
, а от ба-
зисных многочленов () потребовать выполнения условия
i
lx
(1.4)
{
0,
( ) : , , 0,1,..., .
1,
ij ij
ij
lx ji n
ij
δ
≠
⎧
== ∀∈
⎨
=
⎩
}
i
В таком случае для многочлена
0
() ()
n
ni
i
L
xyl
=
=
∑
x
в каждом узле
{
}
, 0,1,...,
j
x
j∈ n
.+
n
, в силу (1.4), справедливо
соотношение
00 1 1 1 1
() () ... () () () ..
... ( ) 0 ... 0 0 ... 0 ,
nj j j j j jj j j j j
njn j j
Lx lxy l xy lxy l xy
lxy y y
−− ++
=++ ++
+=++++++=
то есть выполняются условия интерполяции (1.2).
Чтобы конкретизировать вид базисных многочленов
, учтем, что они должны удовлетворять условиям
()
i
lx (1.4).
Равенство нулю i-го многочлена во всех узлах, кроме i-го,
означает, что () можно записать в виде
i
lx
011
( ) ( )...( )( )...( ),
ii i i
lx Ax x x x x x x x
−+
=− − − −
a коэффициент этого представления легко получается из
содержащегося в
i
A
(1.4) требования () 1
ii
lx
=
. Подставляя в
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
