Разведочный анализ свойств временных рядов на основе использования интерактивной программы Spectra_Analyzer. Любушин А.А. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

24
ПРИЛОЖЕНИЕ. ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМОВ.
П1. Вейвлет-анализ временных рядов.
Ортогональный кратно-разрешающий анализ (вейвлет-разложение) сигнала
()
x
s
от
непрерывного аргумента определяется формулой [3, 7]:
s
() () () () () () ()
() (), () ( ) ( ), 2
+∞ +∞
=−∞ =−∞
==−
∑∑
jjj
j
=⋅
x
sxsxsb s j
α
αααααα
α
τψ τ τ
α
(1.1)
Здесь
α
является номером уровня детальности,
() () () () ()
() () ( )
+∞
−∞
== −
∫
jj j
bb xs s d
ααα α α
τψτ
s (1.2)
− вейвлет-коэффициенты на
α
-ом уровне детальности, соответствующие моменту времени
()
j
α
τ
,
()
()s
α
ψ
являются базисными функциями
α
-ого уровня, которые получаются путем
растяжения и переноса основной вейвлет-функции
()
s
:
() () ()
() ( 2) (2 ), ( ) ( 2) (2 )
−− −−
=
⋅Ψ ⋅ − = ⋅Ψ ⋅ −
j
sss
ααααααα
sj
ψ
ψτ
(1.3)
Функция конструируется таким образом, чтобы она была финитной, имела единичную
среднеквадратичную норму и бесконечное множество функций {
()Ψ s
() ()
(−
j
s
α
)
α
ψ
τ
}, − сдвинутых
в точки
()
j
α
τ
и растянутых (или сжатых) в 2
α
раз копий основной функции, образовывали бы
ортонормальный базис в . Например, если:
2
(,)−∞ +∞L
()Ψ s
= −1 для
1
2
0,
∈
s (] (1.4)
+1 для
1
2
,1
∈
s (] и ноль для прочих , . t
тогда формула (1.4) соответствует разложению функции
()
x
s
по вейвлетам Хаара. Функция
(1.4) является простейшим и наиболее компактным ортогональным финитным вейвлетом.
Наиболее популярным семейством ортогональных вейвлет-функций являются функции
Добеши (Daubechies) порядка , которые обладают следующими
свойствами:
2
() ()Ψ=
p
sDs
2 p
                                                                                   24
   ПРИЛОЖЕНИЕ. ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМОВ.
   П1. Вейвлет-анализ временных рядов.
   Ортогональный кратно-разрешающий анализ (вейвлет-разложение) сигнала x( s ) от
непрерывного аргумента s определяется формулой [3, 7]:


                         +∞                                                   +∞
              x( s ) =
                         α
                          ∑
                         =−∞
                               x (α ) ( s ),          x (α ) ( s ) =      ∑ b α (τ α )ψ α (s − τ α )
                                                                         j =−∞
                                                                                    ( )   ( )
                                                                                          j
                                                                                                   ( )            ( )
                                                                                                                  j         ,   τ (jα ) = j ⋅ 2α   (1.1)



Здесь α является номером уровня детальности,


                                                                                    +∞

                                                                                    ∫ x(s)ψ
                                               (α )        (α )        (α )                     (α )
                                         b      j     =b          (τ   j      )=                       ( s − τ (jα ) ) ds                          (1.2)
                                                                                    −∞




− вейвлет-коэффициенты на α -ом уровне детальности, соответствующие моменту времени
τ (jα ) , ψ (α ) ( s ) являются базисными функциями α -ого уровня, которые получаются путем
растяжения и переноса основной вейвлет-функции Ψ ( s ) :


               ψ (α ) ( s) = ( 2) −α ⋅ Ψ (2−α ⋅ s),                            ψ (α ) ( s − τ (jα ) ) = ( 2)−α ⋅ Ψ (2−α ⋅ s − j )                  (1.3)


Функция Ψ ( s ) конструируется таким образом, чтобы она была финитной, имела единичную

среднеквадратичную норму и бесконечное множество функций {ψ (α ) ( s − τ (jα ) ) }, − сдвинутых

в точки τ (jα ) и растянутых (или сжатых) в 2α раз копий основной функции, образовывали бы

ортонормальный базис в L2 (−∞, +∞) . Например, если:


                                                      Ψ ( s ) = −1 для s ∈( 0, 12 ]                                                                (1.4)

                                                                       +1 для s ∈( 12 ,1] и ноль для прочих t ,                                        .


тогда формула (1.4) соответствует разложению функции x( s ) по вейвлетам Хаара. Функция
(1.4) является простейшим и наиболее компактным ортогональным финитным вейвлетом.
Наиболее популярным семейством ортогональных вейвлет-функций являются функции
Добеши (Daubechies)             Ψ ( s ) = D2 p ( s )                   порядка            2p ,          которые обладают следующими

свойствами:

Страницы