Разведочный анализ свойств временных рядов на основе использования интерактивной программы Spectra_Analyzer. Любушин А.А. - 25 стр.

                                                                                         25
                                                D2 p ( s ) = 0 вне интервала [− p + 1, p ] ,                                                              (1.5a)
                                                +∞

                                                ∫s          ⋅ D2 p ( s ) ds = 0                 для k = 0,..., ( p − 1)
                                                        k
                                                                                                                                                          (1.5b)
                                                −∞




    С ростом числа p обнуляемых моментов в формуле (1.5b) функция D2 p ( s ) становится

все более гладкой, хотя число ее непрерывных производных не является пропорциональным
параметру p . Например, функция Добеши 4-го порядка D2 p ( s ) обнуляет нулевой и первый

момент и непрерывно дифференцируема во всех точках, за исключением счетного
множества точек вида k 2 −l для целых чисел k , l . В точках такого вида D4 ( s ) имеет
левостороннюю производную, но не имеет правосторонней. Отметим, что вейвлет Хаара
(1.4) является вейвлетом Добеши 2-го порядка ( p = 1 ). Мы использовали словарь из 17
вейвлетов: 10 обычных ортогональных вейвлетов Добеши с порядками от 2 до 20
(использование более высоких порядков сопряжено с численной неустойчивостью) и 7 т.н.
«симлетов» - модификаций вейвлетов Добеши, в которых форма базисных функций является
более симметричной, чем для обычных вейвлетов [3, 7, 12]. Симлеты обладают теми же
свойствами компактности, ортогональности, полноты и гладкости, что и вейвлеты (1.5), но
для порядков от 2-го до 6-го они совпадают с обычным ортогональным базисом Добеши, а
затем, для порядков от 8-го до 20-го, появляются различия в форме базисной функции.
   Рассмотрим ситуацию, когда z (t ) представляет собой сигнал с дискретным временем t

длиной N отсчетов, t = 1,..., N . Будем считать, что N имеет вид целого числа вида 2m - это
удобно для последующего использования быстрого вейвлет-преобразования. Если N не
равно 2m , то дополним сигнал z (t ) нулями до длины, которая будет равна 2m , где m −

минимальное целое число, для которого N ≤ 2m . Формула кратно-разрешающего анализа в
случае конечной выборки и дискретного времени:


                                   m                                              2( m − β )
            z (t ) = a   (m)
                         1     +   ∑
                                   β
                                   =1
                                     z   (β )
                                                (t ),         z   (β )
                                                                         (t ) =    ∑ c β (τ β ) ⋅ψ
                                                                                     j =1
                                                                                               ( )   ( )
                                                                                                     j
                                                                                                           (β )
                                                                                                                  (t − τ (j β ) ),   τ (j β ) = j ⋅ 2 β    (1.6)



где z ( β ) (t ) является компонентой сигнала, принадлежащей уровню детальности с номером

β , a (1m ) - константа, пропорциональная среднему значению выборки [3, 7, 12, 17]. В формуле

(1.6) коэффициенты c (jβ ) = c ( β ) (τ (j β ) ) могут быть представлены, подобно формуле (1.2), в виде