Разведочный анализ свойств временных рядов на основе использования интерактивной программы Spectra_Analyzer. Любушин А.А. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

26
свертки базисной функции
()
()s
β
ψ
от непрерывного аргумента с некоторым сигналом
:
s
()zs
() () ()
() ( )
j
czss
ββ
ψτ
+∞
−∞
=⋅−
∫
j
ds
β
(1.7)
Сигнал от непрерывного аргумента получается из сигнала с дискретным
временем t путем интерполяции по формуле:
()zs
s
()zt
() () ( )
t
zs zt s t
=
⋅Φ −
∑
(1.8)
где функция носит название масштабирующей функции вейвлет-разложения.
Например, для вейвлета Хаара для
()sΦ
() 1sΦ= 0,1[s ]
∈
и
() 0s
Φ
=
для всех прочих и,
следовательно, интерполированный сигнал будет кусочно-постоянной функцией. В общем
случае вейвлетов Добеши масштабирующая функция является ортогональной основной
базисной функции : и имеет те же свойства гладкости и компактный
носитель той же длины, что и (но не совпадающий полностью с ним): вне
интервала .
s
()sΨ
( ) ( ) 0ssds
+∞
−∞
ΨΦ =
∫
()sΨ () 0sΦ=
0, 2 1[]p −
Если дискретный сигнал получается из сигнала с непрерывным временем
()zt ()
x
s
путем взятия отсчетов с шагом
s
Δ
по времени, то при стремлении
0s
Δ
→
интерполированный сигнал всегда стремится в среднеквадратической метрике к
исходному
()zs
()
x
s
. Если в формуле (1.8) используется масштабирующая функция
()s
Φ
,
соответствующая базису Добеши порядка , то интерполированный сигнал будет
иметь первых производных, непрерывных почти всюду, за исключением, возможно,
счетного числа точек, независимо от гладкости исходного сигнала
2 p ()zs
1(p − )
()
x
s
. Но при стремлении
эти производные будут стремиться в интегральной метрике к производным
исходного сигнала лишь в том случае, если
0sΔ→
()
x
s
будет также
1(p )
раз дифференцируем
почти всюду. Таким образом, выбор вейвлета для анализа сигнала должен соответствовать
его гладкости.
Если забыть о возможном происхождении сигнала в результате дискретизации
непрерывного сигнала
()zt
()
x
s
с некоторым шагом по времени
s
Δ
, то коэффициенты
()
j
c
β
дискретного разложения (1.6) являются результатом применения последовательной 
                                                       26
свертки базисной функции ψ ( β ) ( s ) от непрерывного аргумента s с некоторым сигналом
z (s) :
                                                       +∞

                                                       ∫ z (s) ⋅ψ
                                            (β )                    (β )
                                        c   j      =                       ( s − τ (j β ) ) ds     (1.7)
                                                       −∞




   Сигнал z ( s ) от непрерывного аргумента s получается из сигнала z (t ) с дискретным
временем t путем интерполяции по формуле:


                                              z ( s ) = ∑ z (t ) ⋅ Φ ( s − t )                     (1.8)
                                                            t




где функция       Φ(s)     носит название масштабирующей функции вейвлет-разложения.
Например, для вейвлета Хаара Φ ( s ) = 1 для s ∈ [0,1] и Φ ( s ) = 0 для всех прочих s и,
следовательно, интерполированный сигнал будет кусочно-постоянной функцией. В общем
случае вейвлетов Добеши масштабирующая функция является ортогональной основной
                             +∞
базисной функции Ψ ( s ) :   ∫ Ψ (s) Φ(s) ds = 0 и имеет те же свойства гладкости и компактный
                             −∞

носитель той же длины, что и Ψ ( s ) (но не совпадающий полностью с ним): Φ ( s ) = 0 вне
интервала [0, 2 p − 1] .
     Если дискретный сигнал z (t ) получается из сигнала с непрерывным временем x( s )
путем взятия отсчетов с шагом               Δs         по времени, то при стремлении             Δs →0
интерполированный сигнал z ( s ) всегда стремится в среднеквадратической метрике к
исходному x( s ) . Если в формуле (1.8) используется масштабирующая функция Φ ( s ) ,
соответствующая базису Добеши порядка 2 p , то интерполированный сигнал z ( s ) будет
иметь ( p − 1) первых производных, непрерывных почти всюду, за исключением, возможно,
счетного числа точек, независимо от гладкости исходного сигнала x( s ) . Но при стремлении
Δ s → 0 эти производные будут стремиться в интегральной метрике к производным
исходного сигнала лишь в том случае, если x( s ) будет также ( p − 1) раз дифференцируем
почти всюду. Таким образом, выбор вейвлета для анализа сигнала должен соответствовать
его гладкости.
     Если забыть о возможном происхождении сигнала z (t ) в результате дискретизации

непрерывного сигнала x( s ) с некоторым шагом по времени Δ s , то коэффициенты c (jβ )

дискретного разложения (1.6) являются результатом применения последовательной

Страницы